Explorando el Campo Gravitatorio: Leyes, Potencial y Energía en el Universo

Campo Gravitatorio: Fundamentos y Aplicaciones

Leyes de Kepler

Las leyes de Kepler describen el movimiento de los planetas alrededor del Sol.

1.ª Ley de Kepler: Ley de las Órbitas

Los planetas describen órbitas elípticas, con el Sol situado en uno de sus focos.

• Perihelio: Punto de la órbita más cercano al Sol. En este punto, la velocidad del planeta es máxima.
• Afelio: Punto de la órbita más alejado del Sol. En este punto, la velocidad del planeta es mínima.
• (a=X; b=Y) (Nota: 'a' y 'b' suelen representar el semieje mayor y semieje menor de la elipse, respectivamente.)

2.ª Ley de Kepler: Ley de las Áreas

Un radio vector que une el Sol con el planeta barre áreas iguales en tiempos iguales.

3.ª Ley de Kepler: Ley de los Períodos

Los cuadrados de los períodos de revolución (T) de los planetas son proporcionales al cubo de la distancia media (R) que los separa del Sol:

T² = kR³

Ley de la Gravitación Universal

Todos los cuerpos del universo se atraen entre sí con una fuerza que es proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa:

F = G (M m / r²)

Donde G es la constante de gravitación universal.

Justificación de la 3.ª Ley de Kepler

La tercera ley de Kepler puede deducirse a partir de la Ley de Gravitación Universal y las leyes de la dinámica. Considerando que la fuerza gravitatoria (F_g) proporciona la fuerza centrípeta (F_c) necesaria para una órbita circular:

F_g = F_c

G (M_s m / r²) = m (v² / r)

Expresando la velocidad (v) como el espacio recorrido en una órbita circular (2πr) entre el tiempo empleado (el período T):

v = 2πr / T

Sustituyendo v en la ecuación anterior:

G (M_s m / r²) = m ( (2πr / T)² / r )

G (M_s m / r²) = m ( 4π²r² / (T²r) )

G (M_s m / r²) = m ( 4π²r / T² )

Despejando el período (T), se obtiene la expresión de la 3.ª Ley de Kepler:

T² = (4π² / (G M_s)) r³

Donde M_s es la masa del Sol.

Intensidad del Campo Gravitatorio (g)

La intensidad del campo gravitatorio (g) en un punto del espacio es la fuerza que aparece sobre una masa unidad (1 kg) que se introduce en ese punto. También se conoce como aceleración de la gravedad.

g = F / m

Campo Gravitatorio Creado por la Tierra

En puntos exteriores a la Tierra, el campo gravitatorio es igual al creado si toda la masa terrestre estuviera concentrada en su centro:

g(r) = -G M_t / r²

Donde M_t es la masa de la Tierra y r es la distancia desde el centro de la Tierra.

Sobre la Superficie de la Tierra

La intensidad del campo gravitatorio en la superficie terrestre (r = R_t, siendo R_t el radio de la Tierra) es:

g₀ = -G M_t / R_t²

En el Interior de la Tierra

Para puntos en el interior de la Tierra (r < R_t), la intensidad del campo gravitatorio es:

g(r) = -G M_{int} / r²

Donde M_{int} es la masa de la Tierra contenida en una esfera de radio r.

Campo de Fuerzas Conservativo

Un campo de fuerzas es conservativo si el trabajo realizado por las fuerzas del campo para llevar una partícula de un punto a otro solo depende de los puntos inicial y final, y no de la trayectoria seguida.

El trabajo realizado en un campo conservativo a lo largo de una trayectoria cerrada es cero.

Diferencia de Energía Potencial Gravitatoria

La diferencia de energía potencial (ΔEp) entre dos puntos (A y B) del campo es el trabajo con signo contrario, realizado por las fuerzas del campo para llevar una partícula desde el punto A hasta el punto B:

ΔEp = Ep(B) - Ep(A) = -W_{A→B}

Energía Potencial de una Partícula en un Punto

La energía potencial de una partícula en un punto es el trabajo que realizan las fuerzas del campo para llevar la partícula desde ese punto hasta el punto origen de las energías potenciales (punto de referencia).

Si el punto de referencia (ref) se considera con energía potencial cero (Ep(ref) = 0), entonces el trabajo realizado desde el punto A hasta el punto de referencia es igual a la energía potencial en A:

W_{A→ref} = Ep(A)

Energía Potencial Gravitatoria Absoluta

Considerando el infinito (r = ∞) como el origen de la energía potencial (Ep(∞) = 0), la energía potencial de una partícula de masa m colocada en el campo gravitatorio de otra masa M y a una distancia r es:

Ep = -G M m / r

Potencial Gravitatorio (V)

El potencial gravitatorio (V) en un punto es igual a la energía potencial por unidad de masa colocada en ese punto. Se corresponde con el trabajo cambiado de signo que hace el campo gravitatorio para traer una masa de 1 kg desde el infinito hasta ese punto.

V = Ep / m = -G M / r

Energía Total de un Satélite en Órbita Circular (Energía Orbital)

La energía total de un satélite en órbita circular (E_{orb}) es la suma de su energía cinética (E_c) y su energía potencial (E_p):

E_{orb} = E_c + E_p

Para una órbita circular, E_c = G M_t m / (2r) y E_p = -G M_t m / r.

E_{orb} = G M_t m / (2r) - G M_t m / r = -G M_t m / (2r)

Energía de Satelización

La energía de satelización (E_s) es la energía que hay que proporcionar a un satélite para ponerlo en una órbita circular de radio r alrededor de la Tierra, partiendo desde su superficie:

E_s = G M_t m (1/R_t - 1/(2r))

Donde R_t es el radio de la Tierra.

Velocidad de Escape (V_e)

La velocidad de escape (V_e) es la velocidad mínima necesaria en su lanzamiento para que un objeto pueda escapar del campo gravitatorio en el que se encuentra, es decir, para que su energía total sea cero o positiva.

V_e = √(2G M_t / r)

Donde r es la distancia desde el centro del cuerpo del cual se escapa.

Flujo Gravitatorio (Ley de Gauss para la Gravitación)

El flujo total que atraviesa una superficie de Gauss que encierra una masa depende solo de la masa encerrada dentro de la superficie gaussiana. Esta es la Ley de Gauss para la Gravitación, análoga a la ley de Gauss en electromagnetismo.