Exploración de la Teoría del Caos: Sistemas Dinámicos, Equilibrio y Atractores Extraños

CAOS

Según la RAE:

1. Estado amorfo e indefinido que se supone anterior a la ordenación del cosmos

2. Confusión, desorden

3. Fís.YMat.Comportamiento aparentemente errático e impredecible de algunos sistemas dinámicos, aunque su formulación matemática sea en principio determinista

QUÉ ES LA TEORÍA DEL CAOS?

Es una interpretación integrada de dinámicas no lineales  ,termodinámica en desequilibrio ,teoría de la información y geometría fractal.

Los  sistemas que tras el análisis se encuentra que son no lineales, que no están equilibrio, son determinísticos , dinámicos y que incorporan aleatoriedad de manera que son sensibles a las condiciones iniciales ,y que tienen atractores extraños se dicen que son caóticos.

Ej.StephenHawkingdicequesieluniversohubiesetenidounadensidaddeunaparteenmilbillonesmásgrande,unsegundomástardedelBigBang,eluniversohubieracolapsado10añosmástarde.

-Porelcontrariosieluniversohubieratenidolascondicionesalainversa,hubieseestadovacíoalcabode10años.

Usualmenteelcaosloasumimoscomoalgúntipodeconfusiónodesorganización.

-Científicamente,caosimplicalaexistenciadeaspectosimpredeciblesoaleatoriosencuestionesdinámicas,locualnonecesariamenteesmaloonodeseable.

EJEMPLO CAOS

Xt=aXt-1*(1-Xt-1)

DEFINICIÓN DE CAOS

Caosesunconjuntointrincadodeordenydesorden,regularidadeirregularidad,patronesdecomportamientoloscualessonirregularesperosonsinembargoreconociblescomocategoríasampliasdecomportamientooarquetipos,enloscualesexisteunavariedadindividualinfinita.(Parker&Stacey,1994)

EQUILIBRIO Y NO EQUILIBRIO

-Estadodeuncuerpocuandofuerzasencontradasqueobranenélsecompensandestruyéndosemutuamente.(RAE)

EJ:-calentador

-Ducha

-Matemáticamente hablando

Microequilibrio:

la más mínima constituyente está en equilibrio.

Macro equilibrio:

El equilibrio se evalúa de una manera agregada.

Equilibrio global

Es cuando un conjunto de sistemas se encuentran en equilibrio mutuamente.

Equilibrio local

Algunas partes del sistema se encuentran en equilibrio.

ESTABILIDAD E INESTABILIDAD

Equilibrio y estabilidad son conceptos gemelos. Lainestabilidadpuedeocurrirentodotipodeestructuras: sólidas, fluidas, vivas, inerteseinstitucionales.

-Lasperturbacionespuedenhacerqueunsistemaestablesevuelvainestable.

-Muchasvecessenecesitamásdeunaperturbaciónparaqueunsistemaestableseconviertaeninestable,portantolaprobabilidaddequeconverjanestasperturbacionesesmuyimportante.

PARÁMETROS PARA EVALUAR EL EQUILIBRIO

-Es deseable saber a qué tasa un sistema se aproxima al equilibrio.

-Si >1 que pasa?

-Si <1 que pasa?

ALGUNOS SISTEMAS CAÓTICOS

•Movimiento de las placas tectónicas

•Turbulencia de fluidos

•Goteo de una canilla

•El clima

•Crecimiento poblacional

•Campo Magnético

•Medicina

•Actividad cardiaca

•Economía

•Astronomía

PARÁMETROS PARA EVALUAR EL EQUILIBRIO

-Es deseable saber a qué tasa un sistema se aproxima al equilibrio.

-Si >1 que pasa?

-Si <1 que pasa?

ESPACIO DE FASE

-Estamos acostumbrados a lugares de dos o tres dimensiones.

-Lo anterior no es válido cuando se tienen sistemas dinámicos.

-X, Y Z son variables de estado

-Espacios conformados por variables de estado y sus correspondientes derivadas se denominan espacios de fase.

ESPACIO DE FASE

- Suponga que un fenómeno está representado por las

Siguientes ecuaciones

- Diagrama de Fase

ESPACIO DE FASE

-Un punto en movimiento describe una curva cerrada? Permanece en el interior de alguna posición en el plano? En otras palabras y hablando en lenguaje de astronomía, debemos preguntarnos si la órbita del punto es estable o inestable.

Henry Poicaré (padre de la teoría de los sistemas dinámicos)

ATRACTORES

-Qué son atractores?

-Los sistemas dinámicos son atraídos por los atractores así como los insectos son atraídos por la luz en las noches.

ATRACTORES DE PUNTO FIJO

*Como será su diagrama de fase, velocidad vs posición en X?

ATRACTORES DE PUNTO FIJO

*Elatractordepuntofijonoessensiblealascondicionesiniciales.

*Dadoquelasensibilidadalascondicionesinicialesesunindicadordecaos,seconcluyequecuandosetieneunatractordepuntofijonohaycaos.

Comoserásudiagramadefase,velocidadvsposiciónenX,sinotuviesepérdidas?

Enestesegundoejemploelresultadodependedelascondicionesiniciales,peroestoescaos?