Exploración de Teoremas Clave: Rolle, Sandwich, Series Geométricas y Convergencia

Teorema de Rolle

Teorema 55 (Rolle) Sea f : [a, b] → R una función continua en [a, b], diferenciable en (a, b) y tal que f(a) = f(b). Entonces existe, al menos, un punto c ∈ (a, b) tal que f'(c) = 0 (ver Figura 68). Estos valores c se llaman puntos críticos de f.

Demostración: Si f es continua en [a, b], el Teorema 45 (de Weierstrass) garantiza que existen puntos e, d ∈ [a, b] donde f alcanza su máximo y su mínimo, respectivamente.

• Si e es punto interior de [a, b], existe un δ > 0 tal que (e − δ, e + δ) ⊂ (a, b). Entonces, para valores de h tales que |h| < δ, f(e + h) está bien definido y f(e + h)−f(e) ≤ 0 (pues f(e) es máximo). En este caso, notar que estos límites existen pues f es diferenciable. Como f'(e) ≥ 0 y f'(e) ≤ 0, necesariamente f'(e) = 0.
• Si d es punto interior de [a, b], procediendo como antes obtenemos que f'(d) = 0.
• Si e, d no son puntos interiores de [a, b], entonces e, d son los puntos frontera a, b, y como por hipótesis f(a) = f(b), tenemos que f(e) = f(d) (máximo y mínimo son iguales) y la función f es constante en [a, b]. En este caso, f'(c) = 0 en todos los puntos de (a, b).

Teorema del Sandwich (o Teorema del Límite Central)

Teorema 9 (del Sandwich) Sean {xn}, {yn} y {zn} sucesiones que cumplen xn ≤ yn ≤ zn para todo n y tales que {xn} y {zn} son convergentes al mismo x ∈ R. Entonces, {yn} también es convergente a x.

Demostración: Sea ε > 0 cualquiera. Tenemos que encontrar un natural N a partir del cual |yn − x| < ε. Como {xn} converge a x, ∃N₀ ∈ N tal que, si n ≥ N₀ entonces |xn − x| < ε, si, y sólo si xn ∈ (x − ε, x + ε). Como {zn} también converge a x, ∃N₀₀ ∈ N tal que, si n ≥ N₀₀ entonces zn ∈ (x − ε, x + ε). Si ahora definimos N = máx{N₀, N₀₀} resulta que, si n ≥ N, entonces, como xn ≤ yn ≤ zn, también yn ∈ (x − ε, x + ε) si, y sólo si, |yn − x| < ε.

Teorema de Acotación por Convergencia a Cero

Teorema 10 (Acotada por convergente a cero) Si {xn} es acotada e {yn} es convergente a 0, entonces {xn yn} es también convergente a 0.

Demostración: Si {xn} es acotada entonces |xn| ≤ M ∀ n. Multiplicando por |yn| tenemos que |xnyn| ≤ M|yn|, luego −M|yn| ≤ xnyn ≤ M|yn| ∀ n. Por el Teorema 8, la sucesión {M|yn|} es convergente a M|0| = 0, y por el Teorema 9 del Sandwich, la sucesión {xnyn} es convergente a 0.

Teorema de la Serie Geométrica

Teorema 18 (de la serie geométrica) La serie es convergente si, y sólo si, |x|<1. En este caso, su suma es 1/(1−x) , es decir, = 1 + x + x² + x³ + x⁴ + · · · = 1/(1 − x) para todo x ∈ (−1, +1).

Demostración: la serie es convergente o divergente si la sucesión {Sn} de sus sumas parciales es convergente o divergente, donde Sn = 1 + x + x² + x³ + x⁴ + · · · + xⁿ⁻¹. Lo estudiamos según los valores de x. Para x = 1 tenemos que Sn = n, que es divergente. Para x ≠ 1, Sn es la suma de una progresión geométrica de razón x ≠ 1 : Sn = 1 + x + x² + x³ + x⁴ + · · · + xⁿ⁻¹ = = (1 − xⁿ) / (1 − x). Así, {Sn} es convergente si, y sólo si, {xⁿ} es convergente, si, y sólo si |x| < 1 . En este caso, l´ım xⁿ = 0 y la suma de la serie es lim Sn = 1/(1 − x)