Exploración de Extremos, Concavidad y Teoremas Fundamentales del Cálculo

Extremos Absolutos y Relativos

Extremos Absolutos

Máximo absoluto: Una función escalar F en un conjunto D tiene un máximo absoluto si existe al menos un punto c en D tal que el valor de la función en ese punto no es superado por ningún otro punto en D. Definición simbólica: F(c) es máximo absoluto de F en D <=> ∀x:(x∈D => f(x) ≤ f(c)).

Mínimo Absoluto: El valor f(c) es el mínimo de la función f en el conjunto D si y solo si f(c) no supera a ninguno de los valores de f(x) que alcanza la función en el conjunto D. Definición simbólica: f(c) es mínimo absoluto de f en D <=> ∀x:(x∈D => f(x) ≥ f(c)).

Extremos Relativos

Máximo relativo o local: Su definición simbólica sería f(x₀) máximo local <=> ∃E(x₀) ⊆ D / ∀x: (x∈E(x₀) => f(x) ≤ f(x₀)).

Mínimo relativo o local: Su definición simbólica sería igual a f(x₀) mínimo local <=> ∃E(x₀) ⊆ D / ∀x:(x∈E(x₀) => f(x) ≥ f(x₀)).

Concavidad y Puntos de Inflexión

Al hablar de concavidad, se habla de dirección y sentido.

• Concavidad hacia arriba: La curva es cóncava hacia arriba en el punto [x₀ ; f(x₀)] si y solo si existe un entorno reducido del punto x₀ donde la curva está por encima de la recta tangente a la misma en el entorno del punto considerado.
• Concavidad hacia abajo: Cóncava hacia abajo en el punto [x₀ ; f(x₀)] si y solo si existe un entorno reducido del punto x₀ donde la curva está por debajo de la recta tangente a la misma de dicho punto.

Punto de inflexión: Es el punto donde la curva no es cóncava ni convexa. Estos puntos se denominan puntos de inflexión.

Teoremas Fundamentales

Teorema de Rolle

Expresa que si una curva regular sale y llega a la misma altura, en algún punto tendrá tangente horizontal. En la figura se ven tres casos distintos. Si la función empieza subiendo, tendrá luego que bajar para reencontrar su valor inicial; entre la subida y la bajada, hay un punto donde la función alcanza un máximo, y en éste, f ' se anula. Lo mismo sucede si la función empieza bajando, y f ' es nula en el mínimo de f.

Teorema del Valor Medio

En esencia, el teorema dice que dada cualquier función f continua en el intervalo [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b), entonces existe al menos algún punto c en el intervalo (a, b) tal que la tangente a la curva en c es paralela a la recta secante que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Es decir: f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a).

El teorema del valor medio es una generalización del Teorema de Rolle, que dice que si una función es definida y continua en [a, b], diferenciable en el intervalo abierto (a, b), y toma valores iguales en los extremos del intervalo.