Exploración Detallada de las Funciones Hiperbólicas: Definiciones y Propiedades Matemáticas

Enviado por Programa Chuletas y clasificado en Matemáticas

Escrito el 10 de Diciembre de 2025 en español con un tamaño de 13,54 KB

Exploración Detallada de las Funciones Hiperbólicas

Las funciones hiperbólicas son análogas a las funciones trigonométricas. Estas son:

Curvas de las funciones hiperbólicas $\sinh$, $\cosh$ y $\tanh$

Curvas de las funciones hiperbólicas $\mathrm{csch}$, $\mathrm{sech}$ y $\mathrm{coth}$

Definiciones Fundamentales

El seno hiperbólico:

$\sinh(x) = \frac {e^{x} - e^{-x}} {2}$

El coseno hiperbólico:

$\cosh(x) = \frac {e^{x} + e^{-x}} {2}$

La tangente hiperbólica:

$\tanh(x) = \frac {\sinh(x)} {\cosh(x)}$

Y otras funciones recíprocas:

$\coth(x) = \frac {\cosh(x)} {\sinh(x)}$

(cotangente hiperbólica)

$\mbox{sech}(x) = \frac {1} {\cosh(x)}$

(secante hiperbólica)

$\mbox{csch}(x) = \frac {1} {\sinh(x)}$

(cosecante hiperbólica)

Tabla de Contenidos

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1. Relación entre funciones hiperbólicas y funciones circulares
2. Relaciones
- 2.1. Ecuación fundamental
- 2.2. Duplicación del argumento
- 2.3. Derivación e integración
3. Inversas de las funciones hiperbólicas
4. Relación con la función exponencial
5. Véase también
6. Enlaces externos

Relación entre Funciones Hiperbólicas y Funciones Circulares

Las funciones trigonométricas $\sin(t)$ y $\cos(t)$ pueden ser las coordenadas cartesianas $(x,y)$ de un punto $P$ sobre la circunferencia unitaria centrada en el origen, donde $t$ es el ángulo, medido en radianes, comprendido entre el semieje positivo $X$, y el segmento $OP$, según las siguientes igualdades:

$\left \{ \begin{matrix} x(t) = \cos t \\ y(t) = \sin t \end{matrix} \right .$

También puede interpretarse el parámetro $t$ como la longitud del arco de circunferencia unitaria comprendido entre el punto $(1,0)$ y el punto $P$, o como el doble del área del sector circular determinado por el semieje positivo $X$, el segmento $OP$ y la circunferencia unitaria.

Animación de la representación del seno hiperbólico.

De modo análogo, podemos definir las funciones hiperbólicas como las coordenadas cartesianas $(x,y)$ de un punto $P$ de la hipérbola equilátera, centrada en el origen, cuya ecuación es

$\ x^2-y^2=1$

siendo $t$ el doble del área de la región comprendida entre el semieje positivo $X$, y el segmento $OP$ y la hipérbola, según las siguientes igualdades:

$\left \{ \begin{matrix} x(t) = \cosh t \\ y(t) = \sinh t \end{matrix} \right .$

Sin embargo, también puede demostrarse que es válida la siguiente descripción de la hipérbola:

$\ x(t) = \frac {e^{t} + e^{-t}} {2}$

$\ y(t) = \frac {e^{t} - e^{-t}} {2}$

dado que

$\ \left ( \frac {e^{t} + e^{-t}} {2} \right )^2 - \left ( \frac {e^{t} - e^{-t}} {2} \right )^2 = 1$

De modo que el coseno hiperbólico y el seno hiperbólico admiten una representación en términos de funciones exponenciales de variable real:

$\ \cosh(t) = \frac {e^{t} + e^{-t}} {2}$

$\ \sinh(t) = \frac {e^{t} - e^{-t}} {2}$

Relaciones

Ecuación Fundamental

$\cosh^2(x) - \,\mathrm{sinh}^2(x) = 1 \,$

Duplicación del Argumento

$\cosh(2x) = \cosh^2(x)+\,\mathrm{sinh}^2(x)$

$\mathrm{sinh}(2x) = 2\,\mathrm{sinh}(x)\cosh(x)$

Derivación e Integración

$\frac{d\ }{dx}(\cosh(x)) = \,\mathrm{sinh}\,(x)$

$\frac{d\ }{dx}(\,\mathrm{sinh}\,(x)) = \cosh(x)$

Además, la integración, al ser la operación inversa de la derivación, es trivial en este caso.

La derivada de $\sinh(x)$ está dada por $\cosh(x)$ y la derivada de $\cosh(x)$ es $\sinh(x)$. El gráfico de la función $\cosh(x)$ se denomina catenaria.

Inversas de las Funciones Hiperbólicas

Las funciones recíprocas de las funciones hiperbólicas son:

$\mbox{arcsinh}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$

$\mbox{arccosh}(x) = \ln(x \pm \sqrt{x^2 - 1})$

$\mbox{arctanh}(x) = \ln\left(\frac{\sqrt{1 - x^2}}{1-x}\right) = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$

$\mbox{arccoth}(x) = \ln\left(\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x-1}\right) = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$

$\mbox{arcsech}(x) = \ln\left(\frac{1 \pm \sqrt{1 - x^2}}{x}\right)$

$\mbox{arccsch}(x) = \ln\left(\frac{1 \pm \sqrt{1 + x^2}}{x}\right)$

Las series de Taylor de las funciones inversas de las funciones hiperbólicas vienen dadas por:

$\operatorname{asinh} (x) = x - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^5} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^7} {7} +\cdots =$

$\operatorname{asinh} (x) = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \left| x \right| < 1$

$\operatorname{acosh} (x) = \ln 2 - (\left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-6}} {6} +\cdots ) =$

$\operatorname{acosh} (x) = \ln 2 - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-2n}} {(2n)} , x > 1$

$\operatorname{atanh} (x) = x + \frac {x^3} {3} + \frac {x^5} {5} + \frac {x^7} {7} +\cdots =$

$\operatorname{atanh} (x) = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \left| x \right| < 1$

$\operatorname{acsch} (x) = \operatorname{asinh} (x^{-1}) = x^{-1} - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-5}} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-7}} {7} +\cdots =$

$\operatorname{acsch} (x) =\sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \left| x \right| < 1$

$\operatorname{asech} (x) = \operatorname{acosh} (x^{-1}) = \ln 2 - (\left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{6}} {6} +\cdots ) =$

$\operatorname{asech} (x) =\ln 2 - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n}} {(2n)} , 0 < x \le 1$

$\operatorname{acoth} (x) = \operatorname{atanh} (x^{-1}) = x^{-1} + \frac {x^{-3}} {3} + \frac {x^{-5}} {5} + \frac {x^{-7}} {7} +\cdots =$

$\operatorname{acoth} (x) =\sum_{n=0}^\infty \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \left| x \right| > 1$

Relación con la Función Exponencial

De la relación del coseno y seno hiperbólico se pueden derivar las siguientes expresiones:

$e^x = \cosh x + \sinh x\!$

$e^{-x} = \cosh x - \sinh x.\!$

Estas expresiones son análogas a las que están en términos de senos y cosenos, basadas en la fórmula de Euler, como suma de exponenciales complejos.

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