Exploración Detallada de Funciones: Dominio, Simetrías y Más

Dominio o Campo de Existencia

Dado la función y=f(x), se llama **campo de existencia** o **dominio** al conjunto de valores de la variable x, para los cuales se puede obtener f(x). De igual forma, se llama **imagen** al conjunto de valores de la “y” que se pueden obtener a partir de algún valor de x.

Simetrías

• Respecto al eje de ordenadas (eje OY): Ocurre cuando la función toma el mismo valor para “x” y “-x”.
• Respecto al eje de abscisas (eje OX): Se presenta cuando la función recíproca de f(x) toma el mismo valor para “y” y “-y”. Para que esto ocurra es necesario que la función venga dada en forma implícita.
• Respecto al origen de coordenadas: Se presenta si al sustituir “x” por “-x” la función cambia de signo.

Puntos de Corte con los Ejes

1. Corte con el eje vertical (eje OY): Son los puntos de la forma (0,y) y resultan de sustituir X=0 en la expresión de la función. Si la curva viene dada de forma explícita (y=f(x)), sólo existe un punto de corte con el eje vertical (0,f(0)).
2. Corte con el eje horizontal (eje OX): Son puntos de la forma (x,0) y se obtienen resolviendo la ecuación que resulta de sustituir Y=0 en la expresión de la función. Obsérvese que al quedar una ecuación del tipo 0= f(x) pueden aparecer varios puntos de corte con el eje horizontal.

Asíntotas

Se llaman **asíntotas** a una curva a aquellas rectas que a partir de un determinado valor se acercan indefinidamente a ella tanto como queramos. Nótese que la curva puede cortar a la asíntota; sin embargo, en el “infinito” una y otra tienden a confundirse.

Asíntota Horizontal

Si la recta horizontal que pasa por la ordenada “k”, es decir, la recta de la ecuación y=k es una asíntota horizontal a la curva, al tender la x a infinito el valor de la función debe tender a “k”. Luego la función y=f(x) tiene una asíntota horizontal de ecuación y=k, si se da alguno de los dos casos siguientes:

• Lim cuando x tiende a infinito de f(x) = k
• Lim cuando x tiende a – infinito de f(x) = k

Asíntota Vertical

Si la recta vertical que pasa por la abscisa “k”, es decir, la recta de la ecuación x=k es una asíntota vertical a la curva y=f(x), al tender la x hacia k el valor de la función debe tender a “+infinito, ó a ”-infinito”. En tal caso la función y=f(x) tiene una asíntota vertical de ecuación x=k, si se da alguno de los dos casos siguientes:

• Lim cuando x tiende a k de f(x)= infinito
• Lim cuando x tiende a k de f(x)= -infinito

Asíntota Oblicua

Si la recta inclinada de ecuación y=mx+b es una asíntota oblicua a la curva y=f(x) ambas tenderán a igualarse en el infinito, es decir, la diferencia entre la ordenada correspondiente a la curva y la ordenada correspondiente a la recta debe tender a 0. Matemáticamente se tiene:

Lim cuando x tiende a + infinito [mx+b –f(x)]=0

Para calcular “m” se usa: m=Lim cuando x tiende a infinito de f(x) / x

Para calcular la b se usa: Lim cuando x tiende a infinito de [f(x) –mx]

Regiones

Determinar las regiones donde existen puntos de la curva, consiste en dividir la recta real en varios intervalos, cuyos extremos vienen delimitados por los puntos donde se anula la función y por aquellos donde es discontinua, de tal forma que atendiendo al signo que tiene en cada uno de ellos, podemos descartar la zona del plano que esté por debajo o por encima del eje OX, según que el signo que presente la curva sea positivo o negativo en el intervalo estudiado.

Crecimiento y Decrecimiento

Si f’(x)>0 la función es creciente.

Si f’(x)<0 la función es decreciente.

Concavidad y Convexidad

Decimos que una función es **cóncava** en un punto x, si localmente la función queda “por encima” de la tangente a la curva en dicho punto.

Análogamente, la función será **convexa** en el punto x, si localmente la función queda “por debajo” de la recta tangente a la curva en el punto x.

Si f’’(x)>0 la función es cóncava en el punto x.

Si f’’(x)<0 la función es convexa en el punto x.

Puntos de Inflexión

Los **puntos de inflexión** son aquellos puntos de la gráfica de la función donde pasa de cóncava a convexa o viceversa. En un punto de inflexión x se tiene: f’’(x)=0

Integrales

Integral Indefinida

Función primitiva: Daremos el nombre de función primitiva de la función f(x) en el intervalo ]a,b[, a toda función de variable real, F(x), tal que para todos los puntos de ]a,b[ se tenga: F’(x)=f(x)

Integral indefinida: Al conjunto de todas las funciones primitivas de f(x) se le da el nombre de integral indefinida de f(x) y se designa por: Integral de f(x) dx