Expansión y Factorización Algebraica: Ejemplos y Problemas Resueltos

Conceptos Fundamentales de Álgebra y Ejercicios Resueltos

Expansión y Factorización de Expresiones Algebraicas

Binomio al Cuadrado y al Cubo

Fórmulas:

• (a+b)² = a² + 2ab + b²
• (x+y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³

Ejemplos:

• (1 + 3x²)² = 1 + 6x² + 9x⁴
• (2x + 1)³ = 8x³ + 12x² + 6x + 1
• (m + 3)² = m² + 6m + 9
• (a + 2)³ = a³ + 6a² + 12a + 8

Factor Común Monomio

Ejemplos:

• a² + ab = a(a + b)
• 4x² – 8x = 4x(x – 2)
• 2a²x + 6ax² = 2ax(a + 3x)
• x²y + x²z = x²(y + z)
• 3a³ – a² = a²(3a – 1)
• x³ – 4x⁴ = x³(1 – 4x)

Factor Común Polinomio

Ejemplos:

• a(x+1) + b(x+1) = (x + 1)(a + b)
• 3x(x-2) - 2y(x-2) = (x – 2)(3x – 2y)
• 2(x - 1) + y(x - 1) = (x – 1)(2 + y)
• 2x(n - 1) – 3y(n – 1) = (n - 1)(2x – 3y)
• 2(x - 1) + y(x - 1) = (x – 1)(2 + y)
• m(a – b) + (a – b)n = (a – b)(m + n)

Trinomio Cuadrado Perfecto

Ejemplos:

• a² – 2ab + b² = (a – b)²
• 36 + 12m² + m⁴ = (6 + m²)²
• x² – 2xy + y² = (x – y)²
• 16 + 8y + y² = (4 + y)²
• m² + 6m + 9 = (m + 3)²
• a² + 4a + 4 = (a + 2)²

Diferencia de Cuadrados

Ejemplos:

• x² – y² = (x – y)(x + y)
• 100 – x²y⁶ = (10 – xy³)(10 + xy³)
• (a+b)² – c² = (a + b – c)(a + b + c)
• 4 - (a + 1)² = (1 – a)(3 + a)
• 9 – b² = (3 – b)(3 + b)
• 1 – 4m² = (1 – 2m)(1 + 2m)
• (a+b)² – c² = (a + b – c)(a + b + c)
• 4 - (a + 1)² = (1 – a)(3 + a)
• b² – 9 = (b – 3)(b + 3)
• 4m² – 1 = (2m - 1)(2m + 1)
• c² – (a + b)² = (c – a – b)(c + a + b)
• (a + 1)² - 4 = (a - 1)(a + 3)

Ejercicios Resueltos y Conceptos Adicionales

Problemas con Imágenes

3

=

=

= =

Problemas de Aplicación

Problema de Proporción (Distancia y Gasolina)

Un auto recorre 120 km con 15 litros de gasolina. ¿Cuántos kilómetros puede recorrer con 20 litros?

= X = 160

Resolución de Ecuaciones

Obtén el valor de x:

x = 18

Problema de Interés Simple

Por un préstamo de 500 pesos se cobra un interés simple de 10 % mensual. Encontrar el interés cobrado y la cantidad total que se adeuda después de seis meses. $ 300

Presión Hidrostática y Proporcionalidad

La ecuación que relaciona la presión hidrostática con la altura es P = ρgh

donde:

• P = presión
• ρ = densidad, 1000
• g = 9.8
• h = altura

Demuestra que la presión varía directamente proporcional a la altura.

Altura en m (h)	1	2	3	4	5
Presión en	9800	19600	29400	39200	49000

= = = =

Más Ejercicios Resueltos

Problema de Razón (Pesca)

Un grupo de biólogos pescó 24 carpas y 36 lobinas. ¿Cuál es la razón de lobinas a carpas?

Resolución de Ecuaciones (Segundo Ejemplo)

Obtén el valor de x: X = 25

Problema de Interés Simple (Segundo Ejemplo)

Por un préstamo de 600 pesos se cobra un interés simple de 10 % mensual. Encontrar el interés cobrado y la cantidad total que se adeuda después de seis meses. $ 360

Presión Hidrostática y Proporcionalidad (Segundo Ejemplo - Duplicado)

La ecuación que relaciona la presión hidrostática con la altura es P = ρgh

donde:

• P = presión
• ρ = densidad, 1000
• g = 9.8
• h = altura

Demuestra que la presión varía directamente proporcional a la altura.

Altura en m (h)	1	2	3	4	5
Presión en	9800	19600	29400	39200	49000

Ejercicios con Imágenes Adicionales

= 4

2

=

=

=

= =