Exercicis Resolts de Física: Radioactivitat, Òptica i Quàntica
Enviado por Programa Chuletas y clasificado en Física
Escrito el en 
catalán con un tamaño de 15,48 KB
Desintegració Radioactiva i Vida Mitjana
- a) Desintegració del Fluor-18:
El ¹⁸F (Fluor-18) té 9 protons i 9 neutrons. La desintegració es pot representar com:
¹⁸F → ¹⁸O + ⁰₁e⁺ + ν
On, segons la conservació de la massa i la càrrega:
- 18 = x + y + 0 → x = 18
- 9 = 8 + z + 0 → z = 1
Per tant, la reacció completa és: ¹⁸F → ¹⁸O + ⁰₁e⁺ + ν
- b) Càlcul de Temps i Quantitat Residual:
La llei de desintegració radioactiva és: N = N₀·e⁻ᵜᵗ
On la constant de desintegració és λ = ln(2)/T.
Si N = N₀/8, llavors 1/8 = e⁻ᵜᵗ → t = ln(8)/λ = T·ln(8)/ln(2) = 329,31 s.
En una hora (3600 s), la quantitat residual seria:
N = N₀·e⁻ᵜ·³⁶⁰⁰ = N₀·1,3·10⁻¹⁰
Això representa un (N₀·1,3·10⁻¹⁰)/N₀ = 1,3·10⁻¹⁰, o bé 1,3·10⁻⁸ % de la quantitat inicial.
Per tant, no es pot emmagatzemar, ja que en una hora quedaria molt poca quantitat respecte a la inicial.
Càlculs de Desintegració i Temps de Vida Mitjana
- a) Càlcul de la Constant de Desintegració i Àtoms Restants:
Segons la gràfica, el temps fins que N és N₀/2 (vida mitjana, T) és t = 2 s.
La constant de desintegració és λ = ln(2)/T = ln(2)/2 = 0,347 s⁻¹.
La quantitat d'àtoms a 15 s és: N(15 s) = N₀·e⁻ᵜᵗ = 6·10²³ - 3,31·10²¹ = 5,97·10²³ àtoms.
- b) Temps per a una Reducció Específica:
Si N = 0,05·N₀, llavors 0,05·N₀ = N₀·e⁻ᵜᵗ.
Simplificant, 0,05 = e⁻ᵜᵗ → e⁻ᵜᵗ = 20 → λt = ln(20).
Per tant, t = ln(20)/λ = ln(20)/0,347 = 8,63 s.
Anàlisi de la Desintegració Beta i Energia Alliberada
- a) Reducció de Massa i Vida Mitjana:
Segons la gràfica, la vida mitjana (T) és de 8 dies (temps fins que la massa es redueix a la meitat).
La constant de desintegració és λ = ln(2)/T = ln(2)/8 = 0,0866 dies⁻¹.
La massa a 40 dies és: M(40 dies) = M₀·e⁻ᵜᵗ = 100·e⁻⁽ˡⁿ⁽²⁾⁄⁸⁾·⁴⁰ = 3,1 g.
- b) Partícules Beta i Energia de Desintegració:
Les partícules β són electrons.
L'energia alliberada es calcula amb la relació massa-energia: ΔE = Δm·c².
El defecte de massa és: Δm = [m(Xe) + m(e⁻)] - m(I)
Δm = [130,904 u + 5,486·10⁻⁴ u] - 130,906 u = -1,043·10⁻³ u.
Convertint a quilograms: Δm = -1,043·10⁻³ u · (1,6605·10⁻²⁷ kg/u) = -1,732·10⁻³⁰ kg.
L'energia alliberada és: ΔE = Δm·c² = -1,732·10⁻³⁰ kg · (3·10⁸ m/s)² = -1,559·10⁻¹³ J.
Aquesta és l'energia alliberada per la desintegració del iode.
Efecte Fotoelèctric: Energia de Fotons i Electrons
- a) Energia dels Fotons Incidents i Funció de Treball:
L'energia dels fotons incidents és: Eᵢ = h·ν.
Primer, calculem la freqüència: c = λ·ν → ν = c/λ = (3·10⁸ m/s) / (2·10⁻⁷ m) = 1,5·10¹⁵ Hz.
Eᵢ = 6,626·10⁻³⁴ J·s · 1,5·10¹⁵ Hz = 9,939·10⁻¹⁹ J.
Convertint a eV: Eᵢ = 9,939·10⁻¹⁹ J / (1,602·10⁻¹⁹ J/eV) = 6,20 eV.
Per l'efecte fotoelèctric: Eᵢ = W + Eₑ.
La funció de treball (W) és: W = Eᵢ - Eₑ = 6,20 eV - 1,97 eV = 4,23 eV.
Convertint a Joules: W = 4,23 eV · (1,602·10⁻¹⁹ J/eV) = 6,77·10⁻¹⁹ J.
- b) Velocitat i Longitud d'Ona de De Broglie dels Electrons:
L'energia cinètica dels electrons és: Eₑ = ½·mₑ·vₑ².
Convertint Eₑ a Joules: Eₑ = 1,97 eV · (1,602·10⁻¹⁹ J/eV) = 3,156·10⁻¹⁹ J.
La velocitat dels electrons és: vₑ = √(2Eₑ/mₑ) = √(2 · 3,156·10⁻¹⁹ J / 9,109·10⁻³¹ kg) = 8,32·10⁵ m/s.
La longitud d'ona de De Broglie és: pₑ·λₑ = h → λₑ = h/(mₑ·vₑ).
λₑ = 6,626·10⁻³⁴ J·s / (9,109·10⁻³¹ kg · 8,32·10⁵ m/s) = 8,75·10⁻¹⁰ m.
Aplicació de la Llei de Snell per a Índex de Refracció
- a) Càlcul de l'Índex de Refracció del Segon Medi:
Aplicant la Llei de Snell: n₁·sin(i) = n₂·sin(r).
Si n₁ = 1 (aire), llavors n₂ = (n₁·sin(i))/(sin(r)).
n₂ = (1·sin(20º))/(sin(14,90º)) = 1,33.
Efecte Fotoelèctric i Càlcul de Fotons Emesos
- a) Càlcul de l'Energia Cinètica dels Electrons:
La funció de treball és: W = 2,1 eV = 2,1 eV · (1,6·10⁻¹⁹ J/eV) = 3,36·10⁻¹⁹ J.
L'energia del fotó incident és E = h·ν = h·(c/λ).
E = 6,626·10⁻³⁴ J·s · (3·10⁸ m/s / 550·10⁻⁹ m) = 3,614·10⁻¹⁹ J.
L'energia cinètica dels electrons és: E_c = E - W.
E_c = 3,614·10⁻¹⁹ J - 3,36·10⁻¹⁹ J = 2,54·10⁻²⁰ J.
Recordem que c = λν.
- b) Nombre de Fotons Emesos per la Font:
L'energia d'un fotó és: E(1 fotó) = hν = h·(c/λ) = 3,61·10⁻¹⁹ J (calculat a l'apartat a).
L'energia total de la font en un temps Δt és: E(font) = P·Δt = 2·10⁻³ W · 60 s = 0,12 J.
El nombre de fotons (N(f)) emesos per la font és: E(font) = E(1 fotó)·N(f).
N(f) = [E(font)]/[E(1 fotó)] = (0,12 J)/(3,61·10⁻¹⁹ J) = 3,32·10¹⁷ fotons.
Anàlisi de l'Efecte Fotoelèctric i Energia Llindar
- a) Càlcul de l'Energia Cinètica Màxima:
L'equació de l'efecte fotoelèctric és: h·ν(incident) = h·ν(llindar) + E_c.
L'energia cinètica màxima és: E_c = h·(ν incident - ν llindar).
E_c = 6,62·10⁻³⁴ J·s · (1,5·10¹⁵ Hz - 1,1·10¹⁵ Hz) = 2,65·10⁻¹⁹ J.
- b) Condició per a l'Efecte Fotoelèctric amb una Nova Llum:
L'energia dels fotons de la nova llum és: E = h·ν = h·(c/λ).
E = 6,62·10⁻³⁴ J·s · (3·10⁸ m/s / 3·10⁻⁷ m) = 6,62·10⁻¹⁹ J.
L'energia llindar és: E_llindar = h·ν(llindar) = 6,62·10⁻³⁴ J·s · 1,1·10¹⁵ Hz = 7,28·10⁻¹⁹ J.
No hi ha efecte fotoelèctric perquè l'energia dels fotons de la llum incident (6,62·10⁻¹⁹ J) és menor que l'energia llindar (7,28·10⁻¹⁹ J).
Propietats de la Llum en Diferents Medis
- a) Freqüència de la Llum i Velocitat en el Vidre:
La relació entre velocitat, longitud d'ona i freqüència és: v = λ·f → f = v/λ.
En l'aire (v ≈ c): f = (3·10⁸ m/s) / (580·10⁻⁹ m) = 5,2·10¹⁴ Hz.
L'índex de refracció es defineix com: n = c/v → v(vidre) = c/n.
v(vidre) = (3·10⁸ m/s) / 1,55 = 1,9·10⁸ m/s.
- b) Freqüència i Longitud d'Ona en el Vidre:
La freqüència de la llum no canvia en passar d'un medi a un altre: f(vidre) = f(aire) = 5,2·10¹⁴ Hz.
La longitud d'ona en el vidre és: λ(vidre) = v(vidre)/f(vidre).
λ(vidre) = (1,9·10⁸ m/s) / (5,2·10¹⁴ Hz) = 3,6·10⁻⁷ m.
Determinació de l'Índex de Refracció a partir de Dades
- a) Càlcul de l'Índex de Refracció i la Velocitat:
Aplicant la Llei de Snell: n₁·sin(i) = n₂·sin(r).
Si n₁ = 1 (aire), llavors n₂ és el pendent de la recta sin(i) vs sin(r).
n₂ = (0,75 - 0) / (0,54 - 0) = 1,39.
L'índex de refracció també es relaciona amb la velocitat de la llum: n₂ = c/v₂.
Per tant, v₂ = c/n₂ = (3·10⁸ m/s) / 1,39 = 2,16·10⁸ m/s.
Relació entre Longitud d'Ona, Freqüència i Energia
Donades les relacions λ = c/ν i E = h·ν, podem expressar la longitud d'ona en funció de l'energia:
ν = E/h
λ = c/(E/h) → λ = h·c/E.
Si E = 4,806·10⁻¹⁶ J (de l'exercici 29, per exemple), llavors:
λ = (6,626·10⁻³⁴ J·s)·(3·10⁸ m/s) / (4,806·10⁻¹⁶ J) = 4,13·10⁻¹⁰ m.
Anàlisi de l'Efecte Fotoelèctric amb Llum Incident
- a) Càlcul de la Freqüència de la Llum:
La relació entre longitud d'ona, velocitat i freqüència és: λ = c/ν → ν = c/λ.
ν = (3·10⁸ m/s) / (6·10⁻⁷ m) = 5·10¹⁴ Hz.
- b) Condició per a l'Efecte Fotoelèctric:
L'energia del fotó incident és: E = h·ν.
E = 6,626·10⁻³⁴ J·s · 5·10¹⁴ Hz = 3,313·10⁻¹⁹ J (aproximadament 2,07 eV).
Si l'energia del fotó incident (E) és major que l'energia llindar (E₀), es produeix l'efecte fotoelèctric. En aquest cas, E > E₀, i per tant, es produeix l'efecte fotoelèctric.
Càlcul d'Energia i Moment Lineal de Fotons
- a) Càlcul d'Energia i Moment Lineal:
Donades les relacions E = h·ν i λ = c/ν, podem expressar l'energia com: E = h·c/λ.
E = (6,626·10⁻³⁴ J·s)·(3·10⁸ m/s) / (6·10⁻⁷ m) = 3,313·10⁻¹⁹ J.
El moment lineal d'un fotó és: p = h/λ.
p = (6,626·10⁻³⁴ J·s) / (6·10⁻⁷ m) = 1,104·10⁻²⁷ kg·m/s.
Energia i Moment Lineal d'un Fotó amb Longitud d'Ona
L'energia d'un fotó és: E = h·(c/λ).
E = (6,62·10⁻³⁴ J·s)·[(3·10⁸ m/s)/(5,5·10⁻⁷ m)] = 3,61·10⁻¹⁹ J.
El moment lineal d'un fotó és: p = h/λ.
p = (6,62·10⁻³⁴ J·s)/(5,5·10⁻⁷ m) = 1,20·10⁻²⁷ kg·m/s.
Moviment Harmònic Simple: Energia Cinètica i Força
Donada la posició: X = 0,3·sin(20πt)
La velocitat és la derivada de la posició: v = dX/dt = 0,3·20π·cos(20πt) = 6π·cos(20πt).
L'acceleració és la derivada de la velocitat: a = dv/dt = -6π·20π·sin(20πt) = -120π²·sin(20πt).
- a) Energia Cinètica Màxima:
L'energia cinètica màxima es produeix quan la velocitat és màxima (v_max = 6π).
E_c_max = ½·m·v_max² = ½·(0,5 kg)·(6π m/s)² = 88,8 J.
- b) Força Màxima:
La força màxima es produeix quan l'acceleració és màxima (a_max = 120π²).
F_max = m·a_max = (0,5 kg)·(120π² m/s²) = 592,2 N.
Espectre Electromagnètic i Efecte Fotoelèctric
Considerem l'espectre de la llum visible dividit en 4 parts: vermell, taronja, blau i ultraviolat (aquest últim ja fora del visible, però amb major energia).
- a) Llum Vermella i Efecte Fotoelèctric:
Si l'energia de la llum vermella (E(vermell)) és menor que l'energia llindar del metall (E₀), llavors la llum vermella no produirà efecte fotoelèctric en el metall.
- b) Llum Ultraviolada i Efecte Fotoelèctric:
Si l'energia de la llum ultraviolada (E(ultraviolada)) és major que l'energia de la llum blava (E(blau)), i si l'energia de la llum blava ja és suficient per produir l'efecte fotoelèctric, llavors la llum ultraviolada, amb més energia, també tindrà prou energia per produir l'efecte fotoelèctric en el metall.
Conversió d'Energia i Càlcul de Longitud d'Ona
Convertim l'energia de keV a Joules:
3 keV = 3 keV · (10³ eV/keV) · (1,602·10⁻¹⁹ J/eV) = 4,806·10⁻¹⁶ J.
La relació entre energia, freqüència i longitud d'ona és: E = h·ν = h·(c/λ).
Per tant, la longitud d'ona és: λ = h·c/E.
λ = (6,626·10⁻³⁴ J·s)·(3·10⁸ m/s) / (4,806·10⁻¹⁶ J) = 4,13·10⁻¹⁰ m.
Aplicació de la Llei de Snell en Refracció de la Llum
Aplicant la Llei de Snell: n_a·sin(α) = n_v·sin(γ).
L'angle de refracció (γ) és: γ = arcsin( (n_a/n_v)·sin(α) ).
Si n_a = 1, n_v = 1,33 i α = 26º, llavors:
γ = arcsin( (1/1,33)·sin(26º) ) = 19,47º.
Si es refereix a un angle d'un triangle format per la trajectòria de la llum, un altre angle (δ) podria ser:
δ = 180º - α - γ = 180º - 26º - 19,47º = 134,53º.
Càlcul d'Energia i Longitud d'Ona a partir de Freqüència
L'energia d'un fotó és: E = h·ν.
E = 6,625·10⁻³⁴ J·s · 1,015 Hz = 6,72·10⁻³¹ J.
La longitud d'ona és: λ = c/ν.
λ = (3·10⁸ m/s) / 1,015 Hz = 2,95·10⁸ m.
Anàlisi de Respostes i Direcció de Forces
- a) Validació de Respostes:
Les dues respostes proporcionades són correctes.
- b) Direcció de la Força:
La força ha d'anar dirigida cap a l'esquerra.
Càlcul de Longitud d'Ona i Temps de Propagació
- a) Càlcul del Nombre de Longituds d'Ona:
La longitud d'ona és: λ = c/ν.
El nombre de longituds d'ona (n) en una distància x és: x = n·λ → n = x·ν/c.
Si x = 500 m i ν = 3·10¹⁴ Hz:
n = (500 m)·(3·10¹⁴ Hz) / (3·10⁸ m/s) = 5·10⁸.
- b) Temps de Propagació:
El temps (t) que triga la llum a recórrer una distància 2x és: t = 2x/c.
t = (2 · 500 m) / (3·10⁸ m/s) = 3,33·10⁻⁶ s.
Definició i Condicions de l'Efecte Fotoelèctric
L'efecte fotoelèctric és l'eliminació d'electrons que presenta un metall quan sobre ell incideix una radiació electromagnètica (fotons) de freqüència prou alta.
Que hi hagi efecte fotoelèctric amb llum blava no garanteix que es produeixi també amb llum groga. L'energia E = h·f dels fotons d'aquesta última podria no ser suficient per produir l'efecte fotoelèctric, ja que la llum groga té una freqüència inferior a la blava i, per tant, menys energia per fotó.
Canvis en Freqüència, Energia, Velocitat i Longitud d'Ona
Quan la llum passa d'un medi a un altre:
- La freqüència (f) no canvia.
- Per tant, l'energia (E = h·f) no canvia.
- La velocitat (v) es modifica.
- Conseqüentment, la longitud d'ona (λ = v/f) també es modifica.
Càlcul de la Velocitat d'una Ona
La velocitat d'una ona es calcula com: v = λ·f.
v = 0,15 m · 20 Hz = 3 m/s.
Determinació de la Longitud d'Ona Mínima
La relació entre longitud d'ona, velocitat i freqüència és: λ = v/f.
Per trobar la longitud d'ona mínima (λ_min), utilitzem la freqüència màxima (f_max):
λ_min = v/f_max = 340 m/s / 16000 Hz = 0,02125 m o 2,12·10⁻² m.
Apartat no realitzat
Apartat a) no realitzat.
Propietats Ondulatòries i Corpusculars de la Llum
La llum presenta una dualitat ona-partícula, manifestant propietats ondulatòries i corpusculars:
- Propietats Ondulatòries: Interferències, difracció, efecte Doppler, refracció.
- Propietats Corpusculars: Efecte fotoelèctric, efecte Compton.