Exercicis Resolts de Camp Magnètic i Inducció Electromagnètica
catalán con un tamaño de 10,37 KB1. Anàlisi de Trajectòries en Cambra d'Ionització
La imatge següent representa una cambra d'ionització en què s'observa l'aparició d'un electró i d'un positró que tenen la mateixa energia. El camp magnètic que hi ha a la cambra d'ionització és de 2·10⁴ T i està dirigit cap a l'interior del paper.
a) Determinació de la Càrrega i Velocitat
Per determinar la càrrega, s'aplica la força de Lorentz, F = q v B, i la regla de la mà esquerra (o similar).
- Trajectòria de l'esquerra: La força sobre la càrrega va cap a l'esquerra. Per tant, correspon a una càrrega positiva (positró).
- Trajectòria de la dreta: La força sobre la càrrega va cap a la dreta. Per tant, correspon a una càrrega negativa (electró).
Aplicant la segona llei de Newton per al moviment circular uniforme, m(v²/R) = qvB. Aïllant la velocitat, obtenim v = qBR/m = 2,04x10⁸ m/s. Les dues velocitats són iguals, segons l'expressió anterior.
b) Energia en Repòs de l'Electró
L'energia en repòs de l'electró és E = mc² = 8,20x10⁻¹⁴ J. Aquesta és l'energia mínima del fotó necessària per crear un parell electró-positró.
2. Corrent Induït en una Espira Circular
Una espira de radi 25 cm està...
a) Condicions per a la Inducció de Corrent
Hi ha corrent en l'espira si es produeix una variació del flux del camp magnètic. Hi hauria corrent elèctric en els intervals de temps: 0 < t < 10 s i 40 < t < 50 s.
b) Càlcul de la Força Electromotriu (FEM) i Corrent
La força electromotriu (FEM) induïda es calcula com FEM = -dΦ/dt = -πr²(dB/dt). Per a l'interval 40 < t < 50 s, FEM = -π(0,25)²*(0-2)/(50-40) = 3,93x10⁻² V.
El corrent induït és I = FEM/R = (3,93x10⁻²)/5 = 7,86x10⁻³ A.
3. Força Magnètica sobre un Fil i Balança
Es col·loca per sobre d'una balança un imant amb els pols N i S enfrontats. El pes inicial registrat és de 2,400 N.
a) Anàlisi de la Relació Força-Corrent
- El pendent de la recta és (2,388 - 2,400)/2 = -6,000x10⁻³ N/A.
- L'equació de la recta és: F = 2,400 - 6,000x10⁻³ I (on F és en N i I en A).
- Càlcul de la força per a diferents corrents:
- Per I = 2,0 A: F(2,0A) = 2,400 - 6,000x10⁻³ * 2 = 2,388 N.
- Per I = 2,5 A: F(2,5A) = 2,400 - 6,000x10⁻³ * 2,5 = 2,385 N.
b) Càlcul del Camp Magnètic (B)
La força (mòdul) que actua sobre el fil és F = I L B. Del pendent, sabem que ΔF/ΔI = LB. Per tant, B = (6,000x10⁻³)/0,06 = 0,1 T (assumint L=0,06m).
La direcció de B va de Nord a Sud.
4. Partícula Carregada en Camp Magnètic Uniforme
En una regió àmplia de l'espai hi ha un camp magnètic dirigit en la direcció de l'eix y, de mòdul 5,0x10⁻⁵ T (vegeu figura).
a) Càlcul de la Velocitat d'Equilibri
Si la força magnètica equilibra la gravetat (F_mag = F_grav), llavors evB = mg. Per tant, v = mg/(eB) = 1,1x10⁻⁶ m/s.
b) Càlcul de la Força Electromotriu (FEM) Induïda
La força electromotriu (FEM) induïda es calcula com FEM = -dΦ/dt. Si el flux és Φ = BScos(ωt), llavors FEM = -d/dt(BScos(ωt)) = BSωsin(ωt).
FEM = 1,25πx10⁻⁴ sin(100πt) V.
5. Funcionament d'un Selector de Velocitat d'Ions
En la figura següent es mostra un esquema d'un selector de velocitat d'ions, que és una màquina que serveix per seleccionar els ions que es mouen a una velocitat determinada.
a) Determinació de la Velocitat Seleccionada
La força elèctrica és F_el = qE. La força magnètica és F_mag = qvB.
L'ió no es desvia quan les forces s'equilibren: F_el = F_mag. Per tant, qE = qvB, la qual cosa implica V = E/B = 1000 m/s.
b) Efecte del Canvi de Càrrega
Si la càrrega de l'ió canviés de signe, la velocitat seleccionada seria la mateixa, però les dues forces (elèctrica i magnètica) anirien en sentits contraris.
6. Inducció de Corrent en Espira Prop d'un Fil Rectilini
Tenim una espira a prop d'un fil rectilini indefinit, tal com s'indica.
a) Anàlisi del Moviment de l'Espira
- a-1: Si la movem en la direcció X: No s'induirà cap corrent a l'espira, ja que el flux magnètic a través seu es mantindrà constant (la distància al fil no varia).
- a-2: Si la movem en la direcció Y: S'induirà un corrent a l'espira, ja que el flux magnètic a través seu variarà (la distància al fil sí que varia).
b) Comparació de Forces Magnètiques
La força F₁ > F₂, ja que el camp magnètic creat per un fil rectilini indefinit disminueix amb la distància al fil.
7. Moviment d'un Electró en Camp Elèctric Uniforme
Un electró penetra en un camp elèctric uniforme de mòdul E = 4x10⁴ N/C.
Aplicant la segona llei de Newton, F = ma = qE. Per tant, l'acceleració és a = qE/m = 7,03x10⁵ m/s² (constant).
La direcció i el sentit de la força estan indicats a la figura. La trajectòria resultant és una paràbola, ja que la component de la força en l'eix x és F_x = 0 i la component en l'eix y és F_y = constant.
Les equacions de moviment són: x = v₀t (assumint velocitat inicial v₀ en direcció x) i y = ½at² = ½(qE/m)t².
Substituint t = x/v₀ en l'equació de y, obtenim y = ½(qE/(mv₀²))x². Així, y = 3,51x10³x².
8. Anàlisi de Moviment Circular d'una Partícula
Una partícula segueix una trajectòria circular. Si l'angle descrit en funció del temps ve donat per l'equació θ = t².
a) Càlcul del Temps per a Dues Voltes
Dues voltes corresponen a un angle de 2(2π) radians. Per tant, 2(2π) = t², la qual cosa implica t = √(4π) ≈ 3,5 s.
b) Càlcul de la Velocitat Angular
La velocitat angular és ω = dθ/dt = 2t. Per a t = 3 s, ω(3) = 6 rad/s.
9. Protó i Electró en Camp Magnètic Perpendicular
Un protó i un electró que viatgen a la mateixa velocitat penetren en una regió de l'espai on hi ha un camp magnètic perpendicular a la seva trajectòria, com es mostra a la figura. La massa del protó és aproximadament 1758 vegades la de l'electró.
a) Comparació de Trajectòries i Radis
El protó (càrrega positiva) es desvia cap amunt i té un radi de curvatura més gran. L'electró (càrrega negativa) es desvia cap avall i té un radi de curvatura més petit.
Aplicant la força de Lorentz i la segona llei de Newton: qvB = mv²/r. Reordenant, obtenim m/r = qB/v.
Com que la massa del protó (m_p) és major que la de l'electró (m_e), i les càrregues i velocitats són iguals, el radi del protó (r_p) serà major que el de l'electró (r_e): m_p > m_e => r_p > r_e.
b) Relació entre Radis
Com que les càrregues són iguals (q_p = q_e), la relació entre els radis és r_p/r_e = m_p/m_e = 1758.
c) Relació entre Períodes
Sabem que m/r = qB/v. També sabem que la velocitat lineal en un moviment circular és v = ωr = (2π/T)r.
Substituint v en l'equació anterior, obtenim m/r = qB/((2π/T)r), la qual cosa simplifica a T = 2πm/(qB).
Per tant, la relació entre els períodes és T_p/T_e = m_p/m_e = 1758.
10. Càlcul del Radi de Trajectòria d'un Protó
Un protó entra en una regió on hi ha un camp magnètic uniforme B = 0,2 T, amb una velocitat v = 10⁶ m/s.
Aplicant la igualtat entre la força de Lorentz i la força centrípeta: qvB = mv²/R.
Aïllant el radi, obtenim R = mv/(qB) = 5,2·10⁻² m = 5,2 cm.
11. Força sobre Partícula Carregada Prop d'un Fil amb Corrent
Per un fil, que suposarem infinit, hi circula un corrent continu d'intensitat I. A prop del fil i amb velocitat V paral·lela a aquest fil es mou una partícula amb càrrega negativa.
El camp magnètic creat pel fil és perpendicular al paper i dirigit cap endins (assumint un corrent cap amunt i la partícula a la dreta, o viceversa, segons la regla de la mà dreta).
La força sobre la càrrega negativa és en el pla del paper i cap a la dreta (aplicant la regla de la mà esquerra per a càrregues negatives o la regla de la mà dreta i invertint el sentit).
Si la càrrega q fos positiva, el camp magnètic seria el mateix, però la força tindria la mateixa direcció i sentit contrari.
12. Inducció de Corrent en Espires Prop d'un Fil Vertical
Per un fil vertical indefinit, circula un corrent elèctric d'intensitat I. Si dues espires es mouen amb les velocitats indicades a la figura, s'induirà corrent elèctric en alguna d'elles? En quina? Raoneu la resposta.
- Per l'espira de la dreta SÍ: Ja que el camp magnètic creat pel fil varia amb la distància. En moure's l'espira, la distància al fil canvia, i per tant, el flux del camp magnètic a través de l'espira variarà, induint un corrent elèctric (segons la Llei de Faraday).
- Per l'espira de l'esquerra NO: Ja que el camp magnètic a través de l'espira es manté constant (la distància al fil no varia en el seu moviment), i per tant, el flux magnètic no canvia, no induint cap corrent.