Exercicis Resolts de Càlcul Vectorial, Límits i Derivades

Operacions amb Vectors

Càlcul amb vectors donats

Donats els vectors u=(5,-4), v=(2,3) i w=(-6,4):

• Càlcul: 2·u - 3·v + w

  2·(5,-4) - 3·(2,3) + (-6,4) = (10,-8) - (6,9) + (-6,4) = (10-6-6, -8-9+4) = (-2,-13)

• Càlcul: u + 1/3·v - 1/2·w

  (5,-4) + 1/3·(2,3) - 1/2·(-6,4) = (5,-4) + (2/3,1) - (-3,2) = (5 + 2/3 + 3, -4 + 1 - 2) = (26/3,-5)

Càlcul de Punts i Coordenades

Determinació d'un punt amb condicions vectorials

Calcula el punt P(x,y) amb Q(3,2) i R(-1,5) de manera que 3·PQ - 2·QR = 0:

3·PQ - 2·QR = 0

3·(3-x, 2-y) - 2·(-1-3, 5-2) = (0,0)

3·(3-x, 2-y) - 2·(-4, 3) = (0,0)

(9-3x, 6-3y) - (-8, 6) = (0,0)

(9-3x+8, 6-3y-6) = (0,0)

(17-3x, -3y) = (0,0)

• Component x:

  17 - 3x = 0 → 3x = 17 → x = 17/3

• Component y:

  -3y = 0 → y = 0

Per tant, P = (17/3, 0).

Determinació de punts M i N a partir de vectors

Troba els punts M(x,y) i N(x,y) amb A(4,-2) i B(1,4), sabent que AM=(-1,2) i AN=(-2,4):

Primer, calculem el vector AB:

AB = (1-4, 4-(-2)) = (-3,6)

Càlcul del punt M:

AM = (x-4, y+2) = (-1,2)

• Component x:

  x - 4 = -1 → x = 3

• Component y:

  y + 2 = 2 → y = 0

Per tant, M = (3,0).

Càlcul del punt N:

AN = (x-4, y+2) = (-2,4)

• Component x:

  x - 4 = -2 → x = 2

• Component y:

  y + 2 = 4 → y = 2

Per tant, N = (2,2).

Rectes en el Pla

Càlcul del valor de 'k' per a rectes paral·leles

Calcula el valor de 'k' per tal que les rectes r i s siguin paral·leles:

• r: k·x - 2·y + 4 = 0
• s: x + (k-3)·y - 7 = 0

Perquè dues rectes siguin paral·leles, els seus coeficients han de ser proporcionals (A/A' = B/B' ≠ C/C').

Identifiquem els coeficients:

• A = k, B = -2, C = 4
• A' = 1, B' = (k-3), C' = -7

Apliquem la condició de paral·lelisme:

k/1 = -2/(k-3)

k·(k-3) = -2·1

k² - 3k = -2

k² - 3k + 2 = 0

Resolem l'equació de segon grau:

(k-2)(k-1) = 0

Per tant, k = 2 o k = 1.

Verifiquem la condició C/C':

• Si k=2: 2/1 = -2/(2-3) = -2/(-1) = 2. I 4/(-7) = -4/7. Com 2 ≠ -4/7, k=2 és una solució vàlida.
• Si k=1: 1/1 = -2/(1-3) = -2/(-2) = 1. I 4/(-7) = -4/7. Com 1 ≠ -4/7, k=1 és una solució vàlida.

Equació explícita d'una recta

Troba l'equació explícita de la recta que passa pel punt de tall de les rectes r: x+y=0 i s: x-2y+3=0, i és paral·lela a la recta d'equació (x-2)/6 = (y-4)/2.

1. Càlcul del punt de tall de r i s:

Resolem el sistema d'equacions:

x + y = 0 → x = -y

Substituïm a la segona equació:

(-y) - 2y + 3 = 0

-3y + 3 = 0

3y = 3 → y = 1

Substituïm y=1 a x=-y:

x = -1

El punt de tall de r i s és P_tall = (-1,1).

2. Càlcul del vector director de la recta paral·lela:

La recta donada és (x-2)/6 = (y-4)/2.

El seu vector director és v = (6,2).

Com la recta que busquem és paral·lela, el seu vector director també és v' = (6,2).

3. Equació de la recta:

Utilitzem la forma contínua de la recta amb el punt P_tall(-1,1) i el vector director (6,2):

(x - (-1))/6 = (y - 1)/2

(x + 1)/6 = (y - 1)/2

Ara, convertim a la forma explícita (y = mx + n):

2(x + 1) = 6(y - 1)

2x + 2 = 6y - 6

6y = 2x + 8

y = (2x + 8)/6

y = (1/3)x + 4/3

Límits de Funcions

Càlcul de límits en punts específics

Donada la funció f(x) = (x³ - 4x² + 3x) / (x² + x - 2), calcula el límit quan x → -2 i quan x → 1.

1. Límit quan x → -2:

Substituïm x = -2 a la funció:

f(-2) = ((-2)³ - 4(-2)² + 3(-2)) / ((-2)² + (-2) - 2)

= (-8 - 4·4 - 6) / (4 - 2 - 2)

= (-8 - 16 - 6) / 0

= -30 / 0

Per tant, lim_x→-2 f(x) = ±∞ (el signe dependria de si ens apropem per la dreta o per l'esquerra).

2. Límit quan x → 1:

Substituïm x = 1 a la funció:

f(1) = (1³ - 4·1² + 3·1) / (1² + 1 - 2)

= (1 - 4 + 3) / (1 + 1 - 2)

= 0 / 0

Això és una indeterminació. Factoritzem el numerador i el denominador:

Numerador: x³ - 4x² + 3x = x(x² - 4x + 3) = x(x-1)(x-3)

Denominador: x² + x - 2 = (x-1)(x+2)

Ara, reescrivim el límit:

lim_x→1 [x(x-1)(x-3)] / [(x-1)(x+2)]

Simplifiquem (x-1):

lim_x→1 [x(x-3)] / (x+2)

Substituïm x = 1:

= [1·(1-3)] / (1+2)

= -2 / 3

Per tant, lim_x→1 f(x) = -2/3.

Càlcul de límits amb arrels i indeterminacions

Calcula el límit: lim_x→3 [x - √(4x-3)] / (x² - 3x)

Substituïm x = 3:

= [3 - √(4·3 - 3)] / (3² - 3·3)

= [3 - √(12 - 3)] / (9 - 9)

= [3 - √9] / 0

= (3 - 3) / 0

= 0 / 0

Això és una indeterminació. Multipliquem pel conjugat del numerador:

lim_x→3 [x - √(4x-3)] / [x(x-3)] · [x + √(4x-3)] / [x + √(4x-3)]

= lim_x→3 [x² - (4x-3)] / [x(x-3)(x + √(4x-3))]

= lim_x→3 [x² - 4x + 3] / [x(x-3)(x + √(4x-3))]

Factoritzem el numerador (x² - 4x + 3 = (x-1)(x-3)):

= lim_x→3 [(x-1)(x-3)] / [x(x-3)(x + √(4x-3))]

Simplifiquem (x-3):

= lim_x→3 (x-1) / [x(x + √(4x-3))]

Substituïm x = 3:

= (3-1) / [3(3 + √(4·3 - 3))]

= 2 / [3(3 + √9)]

= 2 / [3(3 + 3)]

= 2 / [3·6]

= 2 / 18

= 1/9

Càlcul de límits a l'infinit

Calcula el límit: lim_x→∞ (12x² + 2x - 5) / (6x² + 8x)

Substituïm x = ∞:

= ∞ / ∞

Això és una indeterminació. Per a límits de funcions racionals a l'infinit, dividim els coeficients dels termes de major grau:

lim_x→∞ (12x² + 2x - 5) / (6x² + 8x) = lim_x→∞ (12x²) / (6x²)

= 12 / 6

= 2

Geometria Analítica

Equació de la recta i desigualtat associada

Donats els punts B(3,2) i C(4,-3), troba l'equació de la recta que passa per ells i expressa una desigualtat associada.

Primer, calculem el vector director BC:

BC = (4-3, -3-2) = (1,-5)

Utilitzem la forma contínua de la recta amb el punt B(3,2) i el vector director (1,-5):

(x - 3)/1 = (y - 2)/(-5)

-5(x - 3) = 1(y - 2)

-5x + 15 = y - 2

-5x - y + 17 = 0

Aquesta és l'equació general de la recta.

Per obtenir l'equació explícita (y = mx + n):

-y = 5x - 17

y = -5x + 17

Una desigualtat associada podria ser:

y + 5x ≥ 17

Mòdul i Argument d'un vector

Donat un vector v = (a,b):

• Mòdul:

  |v| = √(a² + b²)

• Argument:

  tan(α) = b/a → α = arctan(b/a)

Divisió d'un segment en parts iguals

Troba els punts M i N que divideixen el segment AB amb A(-3,1) i B(3,4) en 3 parts iguals:

Primer, calculem el vector AB:

AB = (3 - (-3), 4 - 1) = (6,3)

1. Càlcul del punt M (primer terç):

El vector AM és 1/3 del vector AB:

AM = (1/3)·AB = (1/3)·(6,3) = (2,1)

Si M = (x_M, y_M), llavors AM = (x_M - (-3), y_M - 1) = (x_M+3, y_M-1).

Igualem les components:

• x_M + 3 = 2 → x_M = -1
• y_M - 1 = 1 → y_M = 2

Per tant, M = (-1,2).

2. Càlcul del punt N (segon terç):

El vector AN és 2/3 del vector AB:

AN = (2/3)·AB = (2/3)·(6,3) = (4,2)

Si N = (x_N, y_N), llavors AN = (x_N - (-3), y_N - 1) = (x_N+3, y_N-1).

Igualem les components:

• x_N + 3 = 4 → x_N = 1
• y_N - 1 = 2 → y_N = 3

Per tant, N = (1,3).

Càlcul Diferencial

Càlcul de Derivades

Calcula les derivades de les següents funcions:

1. Funció f(x) = √(3-2x)

Utilitzem la regla de la cadena: (f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x).

Aquí, f(u) = √u i u = 3-2x. Llavors f'(u) = 1/(2√u) i u' = -2.

f'(x) = (1 / (2√(3-2x))) · (-2)

f'(x) = -1 / √(3-2x)

2. Funció f(x) = x³ - 3x + 2/x²

Reescrivim la funció com f(x) = x³ - 3x + 2x^-2.

Apliquem la regla de la potència (xⁿ)' = nx^n-1 i la regla de la suma/resta.

f'(x) = 3x^3-1 - 3·1 + 2·(-2)x^-2-1

f'(x) = 3x² - 3 - 4x^-3

f'(x) = 3x² - 3 - 4/x³

3. Funció f(x) = (x³-4)·√(3x-1)

Utilitzem la regla del producte: (u·v)' = u'v + uv'.

Aquí, u = x³-4 i v = √(3x-1).

u' = 3x²

v' = (1 / (2√(3x-1))) · 3 = 3 / (2√(3x-1))

f'(x) = (3x²)·√(3x-1) + (x³-4)·(3 / (2√(3x-1)))

Per simplificar, trobem un denominador comú:

f'(x) = [3x² · 2√(3x-1) · √(3x-1) + 3(x³-4)] / [2√(3x-1)]

f'(x) = [6x²(3x-1) + 3x³ - 12] / [2√(3x-1)]

f'(x) = [18x³ - 6x² + 3x³ - 12] / [2√(3x-1)]

f'(x) = (21x³ - 6x² - 12) / (2√(3x-1))

Recta tangent a una corba

Troba la recta tangent a la corba y = x/ln(x) en el punt d'abscissa x=e:

1. Càlcul de la derivada (pendent de la recta tangent):

Utilitzem la regla del quocient: (u/v)' = (u'v - uv') / v².

Aquí, u = x i v = ln(x).

u' = 1

v' = 1/x

y' = (1·ln(x) - x·(1/x)) / (ln(x))²

y' = (ln(x) - 1) / (ln(x))²

Ara, avaluem la derivada en x=e per trobar el pendent (m):

m = y'(e) = (ln(e) - 1) / (ln(e))²

Com ln(e) = 1:

m = (1 - 1) / (1)² = 0 / 1 = 0

2. Càlcul del punt de tangència (y-coordenada):

Avaluem la funció original en x=e:

y(e) = e / ln(e)

y(e) = e / 1 = e

El punt de tangència és (e, e).

3. Equació de la recta tangent:

Utilitzem la forma punt-pendent: y - y₀ = m(x - x₀).

y - e = 0 · (x - e)

y - e = 0

y = e

Aquesta és l'equació de la recta tangent.