Exercicis de Matemàtiques Financeres: Interès, Descompte i Taxes Equivalents

1. Càlcul de Tipus d'Interès i Termini

a) Determinació del Tipus d'Interès Mensual (i₁₂)

30.050,61 × (1 + i₁₂)⁹⁶ = 47.009,91

Aïllant i₁₂: i₁₂ ≈ 0,00467208 (o 0,467208%)

Tipus d'interès nominal (j₁₂): j₁₂ = 5,6065%

b) Càlcul del Termini (n)

30.050,61 × (1,00467208312)ⁿ = 38.783,31

Aïllant n: n = 4 anys, 6 mesos i 22 dies.

c) Càlcul de l'Interès (I)

Capitalització: 30.050,61 × (1,00467208312)^{(4×12 + 6 + 22/30)} ≈ 38.783,94

Interès generat: I = 8.733,33 €

2. Descompte Comercial vs. Racional

a) Descompte Comercial (d = 8%) i Tipus d'Interès Equivalent (i)

Valor actual (Descompte Comercial): 15.000 × (1 - 0,08)^(42/360) ≈ 14.854,79

Càlcul del tipus d'interès equivalent (i) a partir del tipus de descompte (d):

i = d / (1 - d) = 0,08 / (1 - 0,08) ≈ 0,086956521 (o 8,6956521%)

b) Descompte Racional (utilitzant i)

Valor actual (Descompte Racional): 15.000 / (1,086956521)^(42/360) ≈ 14.854,79

3. Equivalència de Taxes: Càlcul de la TAE

Capitalització: 750.000 × (1 + i)⁴ = 929.118,49

Aïllant i: i = 0,055. Per tant, la TAE és del 5,5%.

Càlcul del tipus d'interès trimestral (i₄) equivalent a la TAE:

(1 + 0,055) = (1 + i₄)⁴

i₄ ≈ 0,013475174 (o 1,3475174%)

4. Equivalència Financera de Capitals (Descompte d=5%)

Càlcul del Valor Actual (VA) dels capitals originals:

VA = 300,51(1-0,05)^(2/12) + 360,61(1-0,05)^(3/12) + 420,72(1-0,05)^(4/12) + 480,81(1-0,05)^(5/12)

VA ≈ 1.538,19 €

a) Càlcul del Termini (n) per a la substitució

1.538,19 = 601,01(1-0,05)^(15/365) + 601,01(1-0,05)^(1/4) + 601,01(1-0,05)ⁿ

1.538,19 ≈ 1.193,10 + 601,01(1-0,05)ⁿ

Resultat del termini: n = 10 mesos i 24 dies (o similar).

b) Càlcul del Capital (X) de substitució

1.538,19 = 330,56(1-0,05)^(45/365) + 330,56(1-0,05)^(80/365) + 330,56(1-0,05)^(120/365) + X(1-0,05)^(150/365)

557,82 = X(1-0,05)^(150/365)

Aïllant X: X = 569,70 €

c) Càlcul del Termini (n) per a un capital únic

1.538,19 = 1.562,65 × (1-0,05)ⁿ

Resultat del termini: n = 3 mesos i 21 dies (o similar).

5. Càlcul del Tipus d'Interès Mitjà Ponderat

Càlcul del valor futur (VF) de diversos capitals aplicant diferents tipus d'interès (t=2):

Càlcul del Tipus d'Interès Mitjà (i)

i = [ (3.239,46 / 2.993,04)^(1/2) ] - 1 ≈ 0,04035 (o 4,035%)

Conclusió: Millor traslladar els capitals.

6. Taula d'Equivalència de Tipus d'Interès

Taula de tipus d'interès efectius segons la freqüència de capitalització (percentatges):

7. Descompte de Lletres i Càlcul de l'Efectiu

Fórmula general per a l'efectiu (E) utilitzant descompte racional i comissió:

E = N / (1 + i)^t - (N × Comissió)

Mètode 1: Descompte Racional (i ≈ 6,5%)

• Efectiu 1 (N=23.000, t=34/360, Comissió=0,5%):
  E₁ = 23.000 / 1,065^(34/360) - 23.000 × 0,005 = 22.748,61
• Efectiu 2 (N=15.000, i=6,51%, t=58/360, Comissió=0,6%):
  E₂ = 15.000 / 1,0651^(58/360) - 15.000 × 0,006 = 14.501,09
• Efectiu 3 (N=7.246, t=67/360, Comissió=0,3%):
  E₃ = 7.246 / 1,065^(67/360) - 7.246 × 0,003 = 7.139,83

Descomptes (D) i Efectiu Total (E_T):

D₁ = 251,39; D₂ = 498,91; D₃ = 106,17

Efectiu Total (E_T) = 44.389,53 €

Mètode 2: Descompte Comercial (d = 6,5%)

Càlcul de l'Efectiu Total (E_T) utilitzant descompte comercial (base 365 dies) menys comissions:

E_T = [23.000(1-0,065)^(34/365) + 15.000(1-0,065)^(158/365) + 7.246(1-0,065)^(67/365)] - [23.000×0,005 + 15.000×0,006 + 7.246×0,003]

E_T = 44.351,37 €

Descomptes (D) calculats amb aquest mètode:

D₁ = 143,54; D₂ = 430,11; D₃ = 88,84

8. Càlcul del Venciment Mitjà i Capital de Substitució

Principi d'equivalència financera (i = 4,5%). Càlcul del Valor Actual (VA) dels capitals originals:

VA = 5.000/1,045^(90/360) + 4.500/1,045^(120/360) + 3.900/1,045^(180/360)

VA ≈ 13.188,90 €

a) Càlcul del Venciment Mitjà (n) per a N=13.250

13.188,90 = 13.250 / 1,045ⁿ

Resultat: n = 34 dies

b) Càlcul del Venciment Mitjà (n) per a N=13.400

13.188,90 = 13.400 / 1,045ⁿ

Resultat: n = 126 dies

c) Càlcul del Capital de Substitució (X) a 150 dies

13.188,90 = X / 1,045^(150/360)

Resultat: X = 13.439,07 €

9. Taula de Conversió de Tipus d'Interès Efectius

Conversió de tipus d'interès efectius entre diferents períodes de capitalització (percentatges):