Exercicis de Geometria a l'Espai: Rectes, Plans i Vectors

1. Problema 1: Posició Relativa de Plans amb Paràmetre

Determina el valor del paràmetre m per al qual els plans compleixen una condició específica.

2. Problema 2: Intersecció Pla-Recta i Recta Perpendicular

Donats el pla π: x-y+2z-4=0 i la recta: x+y+z...:

• Calculeu el punt d'intersecció entre el pla i la recta.
• Trobeu l'equació contínua de la recta s continguda al pla, que és perpendicular a la recta r i talla la recta r.

3. Problema 3: Pla per Tres Punts i Coplanaritat

Donats els punts P=(1,0,0), Q=(0,2,0), R=(0,0,3) i S=(1,2,3):

• Calculeu l'equació cartesiana del pla que conté els punts P, Q i R.
• Comproveu si els quatre punts són coplanaris.

4. Problema 4: Plans Perpendiculars i Equació de Pla

Donats els plans π1: 3x+y-2z+15=0 i π2: x+y+2z-103=0:

• Comproveu que són perpendiculars.
• Calculeu l'equació contínua cartesiana del pla que és perpendicular a π1 i π2, passant pel punt P=(1,3,2).

5. Problema 5: Posició Relativa Pla-Recta amb Paràmetre

Siguin π: x-3y+2z i r: 3x+y=1 i 2x-y+mz=1. Estudieu-ne la posició relativa segons el valor del paràmetre m.

6. Problema 6: Vector Director i Recta Paral·lela

Donada la recta r: 2x-y+3z=2 i x+z+1=0:

• Trobeu-ne un vector director.
• Calculeu l'equació contínua de la recta que és paral·lela a r i que passa pel punt P=(1,0,-1).

7. Problema 7: Rectes Perpendiculars i Punt de Tall

Siguin r1: x-2=y-3/2=1-z/2 i r2: x+3/2=y+1=z+1/2:

• Comproveu que r1 i r2 són perpendiculars.
• Comproveu que es tallen mitjançant la determinació del punt de tall.

8. Problema 8: Pla Paral·lel i Distància Punt-Pla

Donat el pla π: 2x+y-z=5:

• Calculeu l'equació del pla paral·lel al pla π que passa pel punt P=(1,0,-1).
• Determineu també la distància entre el punt P i el pla π.

9. Problema 9: Plans amb Recta i Angle Donats

Trobeu l'equació general dels plans que contenen la recta r: y=2 i z=1 i formen un angle de 45º amb el pla z=0.

10. Problema 10: Pla Perpendicular a Recta per un Punt

Donada la recta: 2x-y+3x=2 i x+z+1=0, calculeu l'equació general del pla perpendicular a la recta que passa pel punt P=(1,0,-1).

11. Problema 11: Pla Perpendicular a Recta i Punt de Tall

Donats el punt P=(1,2,3) i la recta: x-1/2=y+2/3=z-5/-1:

• Trobeu l'equació cartesiana del pla π que passa per P i és perpendicular a la recta r.
• Trobeu el punt de tall entre la recta r i el pla π.

12. Problema 12: Posició Relativa Recta-Pla i Distància

Considereu la recta r: x-1/3=y+2/-1=z-a i el pla π: 2x+y-5z=5:

• Estudieu la posició relativa de la recta r i el pla π en funció del paràmetre a.
• Quan a=3, trobeu la distància de la recta al pla π.

13. Problema 13: Pla que Conté Recta i Paral·lel a Altra

Trobeu l'equació general del pla que conté la recta r1: x-1/3=y=2-z i és paral·lela a la recta r2: x-y-z=0 i x-2y+z=0.

14. Problema 14: Recta i Pla Perpendiculars a Pla Donat

Donats el pla π: x+2y+3z-4=0 i els punts P=(3,1,-2) i Q=(0,1,2):

• Calculeu l'equació contínua de la recta perpendicular al pla π que passa pel punt P.
• Calculeu l'equació general del pla perpendicular a π que passa pels punts P i Q.

15. Problema 15: Rectes Paral·leles i Pla que les Conté

Donades les rectes r1: x+5/3=y-1/2=z-2/-4 i r2: 2x+y+2z+5=0 i 2x-y+z+11=0:

• Comproveu que són paral·leles.
• Trobeu l'equació general del pla que les conté.

16. Problema 16: Pla Perpendicular a Recta per l'Origen

Trobeu l'equació del pla perpendicular a la recta r: x+y+z=1 i 2x+y=3 que passa per l'origen de coordenades.

17. Problema 17: Punts Equidistants de Plans sobre Recta

Trobeu els punts de la recta r: x-1=y+2=z que equidisten dels plans π1: 4x-3z-1=0 i π2: 3x+4y-1=0.

18. Problema 18: Combinació Lineal i Independència Vectorial

Siguin v1=(-1,3,2), v2=(a+1, a-1, 4a+2), tres vectors de l'espai vectorial R³:

• Trobeu el valor del paràmetre a per al qual v3 és combinació lineal dels vectors v1 i v2.
• Comproveu que per a a=0 el conjunt (v1, v2, v3) és linealment independent.

19. Problema 19: Intersecció Pla-Recta

Donats el pla π: 3x-2y+5z=6 i la recta r: x-1/2=y+1/1=z+"/-3, busqueu el punt de tall, si existeix.

20. Problema 20: Plans Paral·lels a Distància Donada

Trobeu les equacions dels plans paral·lels a π: 2x-y+2z=3 situats a distància 6 d'ell.

21. Problema 21: Recta Perpendicular i Distància Punt-Recta

Donats el punt P=(1,0,-2) i la recta r: x-5/2=y-3/2=z+3/-3:

• Trobeu l'equació contínua de la recta que passa pel punt P i talla perpendicularment la recta r.
• Calculeu la distància del punt P a la recta r.

22. Problema 22: Intersecció de Rectes i Pla que les Conté

Siguin r i s dues rectes d'equacions: r(x,y,z)=(-4,3,4)+t(2,-1,1), s: x+1=y-2/-1=z-a/3:

• Trobeu el valor del paràmetre a perquè aquestes rectes es tallin.
• En el cas en què es tallen, trobeu l'equació general del pla que les conté.

23. Problema 23: Punts sobre Recta a Distància de Pla

Trobeu les coordenades dels punts situats sobre la recta d'equació (x,y,z)=(-1,1,1)+t(1,2,1) que estan a distància 1 del pla 2x+2y+z=5.