Exercicis de Física: Moviment Harmònic, Ones i Acústica

1. Anàlisi del Moviment Harmònic Simple

1.1. Determinació de la Constant Elàstica (k)

En un Moviment Vibratori Harmònic Simple (MVHS), la força es relaciona amb l'acceleració i la posició:

F = m·a = -k·y = m(-ω²·y)

D'aquí, la constant elàstica k es pot expressar com:

k = m·(4π² / T²)

I el període T com:

T² = (4π²/k)·m

El pendent de la gràfica T² en funció de m és (4π²/k). Deduït de la gràfica, per a m = 0,1 kg i T² = 0,44 s²:

(4π²·m)/T² = (4π²·0,1)/(0,44) ≈ 8,97 N/m

Observant la gràfica, per a m = 32 g (0,032 kg), T² = 0,14 s², per tant T ≈ 0,37 s. Verificació amb la fórmula T = 2π·√(m/k) dóna T ≈ 0,38 s.

1.2. Equacions de Posició, Velocitat i Acceleració

Les equacions del moviment harmònic simple són:

• Posició: y(t) = A·cos(ωt + π)
• Velocitat: v(t) = -Aω·sin(ωt + π)
• Acceleració: a(t) = -Aω²·cos(ωt + π) = -ω²·y(t)

Per a m = 100 g (0,1 kg), si T² = 0,44 s², la freqüència angular ω = (2π)/T ≈ 9,47 rad/s.

A t = 3 s, obtenim:

• y(3s) = 9,91 × 10⁻² m
• a(3s) = -8,89 m/s²

2. Anàlisi de les Ones Harmòniques

2.1. Equació d'Ona i Condicions Inicials

Donats:

• Freqüència (f) = 25 Hz
• Longitud d'ona (λ) = 0,24 m

La velocitat de l'ona (v) és:

v = λ·f = 0,24 m × 25 Hz = 6 m/s

La freqüència angular (ω) és:

ω = 2π·f = 2π × 25 Hz ≈ 157 rad/s

El nombre d'ona (k) és:

k = (2π)/λ = (2π)/0,24 m ≈ 26,2 m⁻¹

L'equació general de l'ona és: y(x,t) = A·sin(ωt - kx + Φ). Amb les condicions inicials y(0,0) = 0, obtenim Φ = 0. Per tant, l'equació específica de l'ona és:

y(x,t) = 0,03·sin(50π·(t - x/6))

Les unitats són: y en metres, t en segons i x en metres.

2.2. Velocitat i Acceleració de les Partícules

La velocitat de les partícules (v(x,t)) és la derivada de la posició respecte al temps:

v(x,t) = dy/dt = 1,5π·cos(50π(t - x/6))

A x = 6 m i t = 3 s:

v(6,3) = 1,5π·cos(100π) = 1,5π ≈ 4,71 m/s

L'acceleració de les partícules (a(x,t)) és la derivada de la velocitat respecte al temps:

a(x,t) = dv/dt = -75π²·sin(50π(t - x/6))

A x = 6 m i t = 3 s:

a(6,3) = -75π²·sin(100π) = 0,00 m/s²

3. Ones Estacionàries en una Corda

3.1. Primer Harmònic i Velocitat de Propagació

Per al primer harmònic (un ventre), la longitud de la corda (L) és λ₁/2. Si assumim L = 78 cm, llavors λ₁ = 2L = 156 cm = 1,56 m. Amb una freqüència f₁ = 220 Hz, la velocitat de propagació (v) és:

v = λ₁·f₁ = 1,56 m × 220 Hz = 343,2 m/s

3.2. Tercer Harmònic: Nodes i Ventres

Per al tercer harmònic (tres ventres i quatre nodes), la longitud de la corda (L) és 3·(λ₃/2). Si L = 78 cm, llavors λ₃ = 2L/3 = (2 × 78 cm)/3 = 52 cm.

Els nodes (N) i ventres (V) des de l'extrem esquerre de la corda es troben a les posicions següents:

• Nodes: x(N₁) = 0,00 cm; x(N₂) = 26 cm; x(N₃) = 52 cm; x(N₄) = 78 cm.

4. Característiques de les Ones Sonores i Efecte Doppler

4.1. Càlcul de Longitud d'Ona, Freqüència Angular i Període

Donada la velocitat del so (v) = 340 m/s i la freqüència (f) = 300 Hz (300 s⁻¹), la longitud d'ona (λ) és:

λ = v/f = (340 m/s) / (300 Hz) ≈ 1,13 m

La freqüència angular (ω) és:

ω = 2π·f = 2π × 300 Hz ≈ 1,88 × 10³ rad/s

El període (T) és:

T = 1/f = 1 / 300 Hz ≈ 3,33 × 10⁻³ s

4.2. Anàlisi de l'Efecte Doppler i Canvis de Medi

4.2.1. Efecte Doppler

Quan una font sonora s'apropa a un observador, la freqüència enregistrada per l'observador serà major i la longitud d'ona menor. Aquest fenomen es coneix com a Efecte Doppler.

4.2.2. Canvi de Medi

Si no hi ha canvi de medi o de propagació, ni la freqüència (f) ni la longitud d'ona (λ) de l'ona canviaran.

5. Harmònics i Intensitat Sonora

5.1. Càlcul de la Longitud d'un Tub Resonant

Per al primer harmònic (freqüència fonamental), f = 235 Hz. En un tub obert per ambdós extrems (o una corda amb extrems fixos), la longitud (L) és λ/2. La velocitat del so (v) = 340 m/s. Per tant, la longitud del tub és:

L = v/(2·f) = (340 m/s) / (2 × 235 Hz) ≈ 0,72 m

5.2. Nivell d'Intensitat Sonora i Atenuació

El nivell d'intensitat sonora (β) es mesura en decibels (dB) amb la fórmula: β(I) = 10·log(I/I₀) [dB], on I₀ és el llindar de referència (I₀ = 10⁻¹² W/m²). Si β = 116 dB:

116 = 10·log(I / 10⁻¹²)

11,6 = log(I) - log(10⁻¹²) = log(I) + 12

log(I) = 11,6 - 12 = -0,4

Per tant, la intensitat I = 10⁻⁰·⁴ ≈ 0,398 W/m² (aproximadament 0,4 W/m²).

L'intensitat del so és inversament proporcional al quadrat de la distància. Si I·d² = I'·d'², llavors I' = (I·d²)/(d'²). Assumint una distància inicial d = 1 m i una nova distància d' = 50 m, i I = 0,4 W/m²:

I' = (0,4 W/m² × 1² m²) / (50² m²) = 0,4 / 2500 = 1,6 × 10⁻⁴ W/m²

El nou nivell d'intensitat serà:

β = 10·log(1,6 × 10⁻⁴ / 10⁻¹²) ≈ 82 dB

6. Energia i Velocitat en el Moviment Harmònic

6.1. Càlcul de la Constant Elàstica i Freqüència

L'energia mecànica (E_m) en un Moviment Harmònic Simple (MHS) es conserva i es defineix com: E_m = 1/2·k·A².

El pendent de la recta E_m/A² és 1/2·k. A partir de la gràfica, si prenem els punts (A²=0,01, E_m=2) i (A²=0,04, E_m=8):

1/2·k = (8 - 2) / (0,04 - 0,01) = 6 / 0,03 = 200 J/m (o N/m)

Per tant, la constant elàstica k = 400 N/m.

La freqüència (f) es calcula com: f = 1/(2π)·√(k/m). Si assumim una massa m = 0,5 kg (per a consistència amb el resultat donat):

f = 1/(2π)·√(400/0,5) = 1/(2π)·√800 ≈ 1/(2π)·28,28 ≈ 4,5 Hz

6.2. Velocitat Màxima en MHS

La velocitat en un MHS és v(t) = A·ω·cos(ωt). La velocitat màxima (V_max) s'assoleix quan cos(ωt) = 1, per tant:

V_max = A·ω = A·2π·f

En aquest cas, V_max = 4 m/s.

7. Anàlisi Completa d'un Oscil·lador Harmònic

7.1. Amplitud, Freqüència Angular i Constant Elàstica

El màxim estirament de la molla correspon a la distància entre els dos punts extrems del moviment, que és 2A. Si 2A = 0,5 m, llavors l'amplitud A = 0,25 m.

Per a un moviment oscil·latori harmònic:

• Posició: x(t) = A·cos(ωt + Φ₀)
• Velocitat: v(t) = dx/dt = -A·ω·sin(ωt + Φ₀)

Per tant, la velocitat màxima V_max = A·ω.

L'energia cinètica màxima (E_c_max) = 1/2·m·V_max² = 1/2·m·(A·ω)². Aïllant la freqüència angular (ω): ω = √(2·E_c_max / (m·A²)). Si assumim E_c_max = 15 J i m = 0,3 kg (per a consistència amb el resultat donat):

ω = √(2 × 15 J / (0,3 kg × (0,25 m)²)) = √(30 / (0,3 × 0,0625)) = √(30 / 0,01875) = √1600 = 40 rad/s

La freqüència (f) és: f = ω/(2π) = 40 rad/s / (2π) ≈ 6,37 Hz. El període (T) és: T = 1/f ≈ 0,157 s.

Assumint que no hi ha fregament, l'energia mecànica total (E_total) es conserva i és igual a l'energia cinètica màxima:

E_total = E_c_max = 1/2·K·A²

Per tant, la constant elàstica K = (2·E_c_max) / A² = (2 × 15 J) / (0,25 m)² = 30 / 0,0625 = 480 N/m.

7.2. Posició, Velocitat i Acceleració en un Instant Donat

Les equacions de posició, velocitat i acceleració són:

• Posició: x(t) = A·cos(ωt + Φ₀)
• Velocitat: v(t) = -A·ω·sin(ωt + Φ₀)
• Acceleració: a(t) = -A·ω²·cos(ωt + Φ₀)

L'energia cinètica és màxima quan x(t) = 0 i la velocitat és màxima. L'acceleració és màxima quan x(t) = ±A.

Per a t = 3 s, amb A = 0,25 m i ω = 40 rad/s, els valors donats en l'enunciat són consistents amb una fase inicial Φ₀ ≈ -1,14 rad (o -65,5°):

• x(3s) ≈ ±0,145 m
• v(3s) ≈ ±8,14 m/s
• a(3s) ≈ ±232 m/s²