Exercicis de Continuïtat, Derivades i Càlcul Integral en Matemàtiques

1. Estudi de la Continuïtat de la Funció

Es considera la funció definida a trossos:

$$f(x) = \begin{cases} \frac{2}{x-1} & \text{si } x < 2 \\ x^2 + b & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$$

a) Quin és el domini de la funció?

El domini de la funció és el conjunt de tots els nombres reals excepte aquells que fan el denominador zero en la primera branca. Això passa quan $x-1=0$, és a dir, $x=1$.

• Dom $f(x) = \mathbb{R} – \{1\}$

b) Quin valor ha de tenir "b" per tal que la funció sigui contínua en $x=2$?

Perquè $f(x)$ sigui contínua en $x=2$, s'ha de complir que els límits laterals i el valor de la funció en aquest punt coincideixin:

$$\lim_{x\to 2^-} f(x) = \lim_{x\to 2^+} f(x) = f(2)$$

• Límit per l'esquerra ($x<2$): $$\lim_{x\to 2^-} f(x) = \lim_{x\to 2^-} \frac{2}{x-1} = \frac{2}{2-1} = 2$$
• Límit per la dreta i valor de la funció ($x\ge 2$): $$\lim_{x\to 2^+} f(x) = f(2) = 2^2 + b = 4+b$$

Igualant les tres expressions s'obté:

$$2 = 4+b \implies b = 2 - 4 \implies \mathbf{b = -2}$$

c) Digueu si hi ha algun altre punt on s'ha d'estudiar la continuïtat i, si en aquest punt presenta discontinuïtat, argumenteu raonadament el tipus que és.

A part del punt de canvi de definició ($x=2$), s'ha d'estudiar la continuïtat en els punts on alguna de les branques no és contínua. La funció $x^2+b$ és contínua sempre. La funció $\frac{2}{x-1}$ no és contínua quan el denominador és zero, és a dir, en $\mathbf{x=1}$.

Estudiem la continuïtat en $x=1$:

• $$\lim_{x\to 1^-} f(x) = \lim_{x\to 1^-} \frac{2}{x-1} = \frac{2}{0^-} = -\infty$$
• $$\lim_{x\to 1^+} f(x) = \lim_{x\to 1^+} \frac{2}{x-1} = \frac{2}{0^+} = +\infty$$
• $f(1)$ no existeix (perquè $1 < 2$, però la definició de la branca no inclou $x=1$ com a punt on la funció estigui definida en el denominador).

La funció $f(x)$ és discontínua en $x=1$ i la discontinuïtat és asimptòtica o de salt infinit, ja que els límits laterals tendeixen a l'infinit.

2. Anàlisi de la Funció $f(x) = \frac{2x-1}{x^2+1}$

a) Calculeu aquesta imatge: $f(0)$

$$f(0) = \frac{2(0)-1}{0^2+1} = \frac{-1}{1} = \mathbf{-1}$$

b) Deriveu la funció $f(x)$

Utilitzem la regla del quocient $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

• $u = 2x-1 \implies u' = 2$
• $v = x^2+1 \implies v' = 2x$

$$f'(x) = \frac{2(x^2+1) - (2x-1)(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^2+2 - (4x^2-2x)}{(x^2+1)^2}$$

$$f'(x) = \frac{2x^2+2 - 4x^2+2x}{(x^2+1)^2} = \mathbf{\frac{-2x^2+2x+2}{(x^2+1)^2}}$$

c) Calculeu $f'(0)$

Substituïm $x=0$ en la derivada:

$$f'(0) = \frac{-2(0)^2+2(0)+2}{(0^2+1)^2} = \frac{2}{1^2} = \mathbf{2}$$

d) Escriviu l'equació de la recta tangent a la funció $f(x)$ en el punt d'abscissa $x=0$

La recta tangent té l'equació $y - f(a) = f'(a)(x-a)$. Amb $a=0$, tenim $f(0)=-1$ i $f'(0)=2$:

$$y - (-1) = 2(x-0)$$ $$y + 1 = 2x$$ $$\mathbf{y = 2x - 1}$$

3. Optimització de la Producció de Tomàquets

La producció de tomàquets $T(x)$ en kg depèn de la temperatura $x$ en ºC, segons la funció:

$$T(x) = (x+1)^2 \cdot (35-x)$$

a) A quina temperatura s'obté la màxima producció de tomàquets?

Cal trobar el màxim de la funció, derivant i igualant a zero. Utilitzarem la regla del producte:

• $u = (x+1)^2 \implies u' = 2(x+1)$
• $v = 35-x \implies v' = -1$

$$T'(x) = u'v + uv' = 2(x+1)(35-x) + (x+1)^2(-1)$$

Factoritzem $(x+1)$:

$$T'(x) = (x+1) [2(35-x) - (x+1)]$$ $$T'(x) = (x+1) [70 - 2x - x - 1]$$ $$T'(x) = (x+1)(69 - 3x)$$

Resolem l'equació $T'(x)=0$:

$$(x+1)(69 - 3x) = 0$$

S'obtenen dues solucions: $x = -1$ i $69 - 3x = 0 \implies 3x = 69 \implies x = 23$.

Comprovem quina és màxim i quina mínim mitjançant el signe de la derivada (o la segona derivada):

• Per a $x < -1$ (p. ex., $x=-2$): $T'(-2) = (-1)(69 - 3(-2)) = (-1)(75) = -$. (Decreixent)
• Per a $-1 < x < 23$ (p. ex., $x=0$): $T'(0) = (1)(69) = +$. (Creixent)
• Per a $x > 23$ (p. ex., $x=24$): $T'(24) = (25)(69 - 3(24)) = (25)(69 - 72) = (25)(-3) = -$. (Decreixent)

En conclusió, en $\mathbf{x=-1}$ hi ha un mínim i en $\mathbf{x=23}$ hi ha un màxim.

La temperatura ideal per a la màxima producció és $\mathbf{23 \text{ ºC}}$.

b) Quina producció de tomàquets s'obté en aquesta temperatura màxima?

Calculem $T(23)$:

$$T(23) = (23+1)^2 \cdot (35-23) = (24)^2 \cdot (12)$$ $$T(23) = 576 \cdot 12 = \mathbf{6912 \text{ Kg}}$$

4. Càlcul Integral de la Funció $f(x) = -2e^{-x} + \frac{1}{x}$

a) Trobeu una primitiva de la funció $f(x)$

Calculem la integral indefinida:

$$\int f(x) \,dx = \int \left(-2e^{-x} + \frac{1}{x}\right) \,dx$$ $$\int f(x) \,dx = -2 \int e^{-x} \,dx + \int \frac{1}{x} \,dx$$

Recordant que $\int e^{ax} dx = \frac{1}{a}e^{ax}$ i $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x|$:

$$\int f(x) \,dx = -2 \left(\frac{e^{-x}}{-1}\right) + \ln|x| + K$$ $$\mathbf{\int f(x) \,dx = 2e^{-x} + \ln|x| + K}$$

b) Calculeu l'àrea de la regió ombrejada, compresa entre l'eix X, la funció, i les rectes $x=0.2$ i $x=3$

Calculem la integral definida entre $0.2$ i $3$. Com que en aquest interval $x>0$, $|x|=x$.

$$\text{Àrea} = \int_{0.2}^{3} \left(-2e^{-x} + \frac{1}{x}\right) \,dx = \left[ 2e^{-x} + \ln(x) \right]_{0.2}^{3}$$

Apliquem el Teorema Fonamental del Càlcul:

$$\text{Àrea} = \left( 2e^{-3} + \ln(3) \right) - \left( 2e^{-0.2} + \ln(0.2) \right)$$

Càlcul numèric aproximat:

• $2e^{-3} \approx 0.0993$
• $\ln(3) \approx 1.0986$
• $2e^{-0.2} \approx 1.6375$
• $\ln(0.2) \approx -1.6094$

$$\text{Àrea} \approx (0.0993 + 1.0986) - (1.6375 - 1.6094)$$ $$\text{Àrea} \approx 1.1979 - 0.0281$$ $$\mathbf{\text{Àrea} \approx 1.1698 \text{ u}^2}$$

(El valor aproximat donat en l'original, $1.170 \text{ u}^2$, és correcte.)