examen
Enviado por Chuletator online y clasificado en Matemáticas
Escrito el en 
español con un tamaño de 834,17 KB
INTRODUCCIÓN A LA
TRÍGONOMETRÍA
La trigonometría es la parte de las Matemáticas que
estudia a los triángulos, sus elementos y su relación.
TRIÁNGULOS SEMEJANTES
Dos o más triángulos son semejantes, cuando sus ángulos
correspondientes son iguales y sus lados correspondientes
son proporcionales. En otras palabras, cuando tienen
misma forma y diferente tamaño.
De manera matemática se dice que:
△(ABC)~△(A^′ B^′ C′)
Si y solo si
∡A=∡A^′; ∡B=B^′; ∡C=∡C′
AB/(A^′ B′)=BC/(B^′ C′)=AC/(A^′ C′)=r
Donde “r” es llamada razón o constante de proporción, y nos permite saber si la figura creada aumenta o disminuye de tamaño con respecto a la original.
Criterios para saber si dos o más triángulos son semejantes:
•Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales. (Criterio AA)
Es decir se debe cumplir que:
∡A=∡A^′;∡C=∡C′
Es decir se debe cumplir que:
∡A=∡A^′; y AB/(A^′ B′)=AC/(A^′ C′)=r
•
Es decir se debe cumplir que:
AB/(A^′ B′)=BC/(B^′ C′)=AC/(A^′ C′)=r
A) ¿Los siguientes triángulos son semejantes? ¿Por qué?
Se cumple que:
∡A=∡A^′;∡C=∡C′
Por lo tanto por el criterio AA,△(ABC)~△(A^′ B^′ C′)
B) ¿Los siguientes triángulos son semejantes? ¿Por qué?
Se cumple que:
∡A=∡A^′=45°;
AB/(A^′ B′)=10/20=1/2 y AC/(A^′ C′)=16/32=1/2
Por lo tanto por el criterio LAL △(ABC)~△(A^′ B^′ C′)
C) ¿Los siguientes triángulos son semejantes? ¿Por qué?
Es decir se debe cumplir que:
AB/(A^′ B′)=1.8/5.4=1/3
BC/(B^′ C′)=1.6/4.8=1/3
AC/(A^′ C′)=1.2/2.4=1/2
Por lo tanto
△(ABC)≁△(A^′ B^′ C′)
TRIÁNGULOS CONGRUENTES
Dos o más triángulos son congruentes, si sus lados correspondientes tienen la misma longitud y sus ángulos correspondientes tienen la misma medida. Dicho en otras palabras tienen misma forma y mismo tamaño.
De manera matemática se dice que:△(ABC)≅ △(A^′ B^′ C′)
Si y solo si
∡A=∡A^′; ∡B=B^′; ∡C=∡C′
AB=A^′ B^′
BC=B’C’
AC=A’C’
Criterios para saber si dos o más triángulos son congruentes:
•Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados correspondientes son iguales. (Criterio LLL)
•
A) ¿Los siguientes triángulos son congruentes? ¿Por qué?
Se cumple que:
∡A=30°=∡A^′;∡C=50°=∡C′
y además
AC=A’C’=12 cm
Por lo tanto por el criterio ALA, △(ABC)≅△(A^′ B^′ C′)
B) ¿Los siguientes triángulos son congruentes? ¿Por qué?
Se cumple que:
∡A=45°=∡A^′;
AB=10=A^′ B^′ y AC=16A^′ C′
Por lo tanto por el criterio LAL △(ABC)≅△(A^′ B^′ C′)
Ejemplos
C) ¿Los siguientes triángulos son congruentes? ¿Por qué?
Es decir se cumple que:
AB=A^′ B^′; BC=B^′ C^′ AC=A^′ C^′
•
Por lo tanto por el criterio LLL:
△(ABC)≅ △(A^′ B^′ C′)
TRIÁNGULOS SEMEJANTES Y CONGRUENTES (PARTE III)
Ejemplos: a) Construye un triángulo semejante al siguiente, con una razón de 3 a 1
1.-
Para poder construir un triángulo semejante se debe usar la r=3/1 y dividir el segmento AB, para poder obtener el segmento A’B’
AB/r=A^′ B^′
(9 cm)/(3/1)=3 cm
2.- Trazamos el segmento A’B’=3 cm
3.- Utilizando el transportador, posiciónalo en el punto A’, y traza de derecha a izquierda el ángulo de 40°
4.- Utilizando el transportador, posiciónalo en el puntoB’, y traza de izquierda a derecha el ángulo de 45°
B) Traza un triángulo congruente al del inciso a)
1.- Trazamos el segmentoA’B’=9 cm
2.- Utilizando el transportador, posiciónalo en el puntoA’, y traza de derecha a izquierda el ángulo de 40°
Teorema de tales
parte i
¿Quién era Tales?
Tales de Mileto ( 624 a. C.-546 a. C.) Vivíó y murió en Mileto, polis griega de la costa Jonia (hoy en Turquía).
Dentro de la matemática aportó diversas ideas, en las que destacan dos teoremas en la parte de semejanza de triángulos.
Una de las historias más destacadas es cuando propuso una idea de como conocer la altura de las pirámides de Guiza, solo con medir su sombra y la de un bastón
Conceptos necesarios:
Teorema:
es un enunciado que puede ser demostrado como verdadero o falso mediante operaciones matemáticas y argumentos lógicos.
Triángulos semejantes:
dos o más triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales (o congruentes) y sus lados correspondientes (u homólogos) son proporcionales.
Líneas paralelas:
Dos o más líneas son paralelas cuando se mantienen siempre a la misma distancia (también se llaman "equidistantes"), y nunca se cruzan.
Primer teorema de Tales (parte I)
Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de los lados tendremos como resultado un triángulo semejante.
Ejemplos:
calcula el valor de x en los siguiente triángulos.
A)
Para poder establecer el valor de “x”, se divide el lado más grande de un triángulo, entre el lado más largo del otro.
(6+x)/6
6(18)=12(6+x)
108=72+12x
108-72=12x
36=12x
36/12=x
3=x
x=3
B)
Para poder establecer el valor de “x”, se divide el lado más grande de un triángulo, entre el lado más largo del otro.
16/12= 9/x
x(16)=12(9)
16x=108
x=108/16
x=6.75
Teorema de tales
Primer teorema de Tales (parte II)
Si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.
Tenemos que:
AB/(A^′ B′)=BC/(B^′ C^′ )=CD/(C^′ D^′ )
Ejemplo 1:
Si AB=8, BC=18, ED=24, calcula el valor de EF.
Por el teorema de Tales tenemos que:
AB/EF=BC/ED
8/x=18/24
8(24)=18(x)
Parte
Ii
192=18x
192/18=x
10.6 ̅=x
AsíEF=10.6 ̅
Ejemplo 2:
Calcula el valor de “x”
Por el teorema de Tales tenemos que:
(x-3)/3=(x+1)/5
5(x-3)=3(x+1)
5x-15=3x+3
5x-3x=3+15
2x=18
x=18/2
x=9