Evaluación de Estabilidad en Sistemas de Control: El Diagrama de Bode

Introducción al Diagrama de Bode

El Diagrama de Bode es una representación gráfica fundamental que nos permite determinar la estabilidad de un sistema mediante la caracterización de su respuesta en frecuencia. Consta de dos gráficas separadas:

• La Gráfica de Magnitud (o Diagrama de Amplitud), que representa el módulo de la función de transferencia en decibelios (dB) en función de la frecuencia angular (ω) en escala logarítmica.
• El Diagrama de Fase, que representa el ángulo de la función de transferencia en grados en función de la frecuencia angular (ω) en escala logarítmica.

Fórmulas Clave

Para comprender el Diagrama de Bode, es esencial conocer las siguientes expresiones:

• Módulo de la Función de Transferencia:
  M(ω) = |G(jω)| = √(Re(G(jω))² + Im(G(jω))²)
  Expresado en decibelios (dB):
  M(ω)dB = 20 log₁₀(|G(jω)|)
• Fase en Grados:
  θ(ω) = arctan(Im(G(jω)) / Re(G(jω)))

Metodología para la Determinación de Estabilidad con Diagramas de Bode

A continuación, se detalla el procedimiento paso a paso para determinar la estabilidad de un sistema utilizando el método del Diagrama de Bode:

1. Se determina la Función de Transferencia del sistema en el dominio de Laplace.
2. Se sustituye el valor de s por jω en la función de transferencia para obtener G(jω).
3. Se obtiene la parte real y la parte imaginaria de la función de transferencia, expresada como: G(jω) = Re(G(jω)) + j Im(G(jω)).
4. Se eligen los valores de la frecuencia angular (ω) que se utilizarán para realizar las gráficas. Cuantos más valores se utilicen, más precisas serán las gráficas.
5. Se determinan los valores de magnitud en decibelios (dB) y fase en grados para cada valor de la frecuencia angular (ω) seleccionada.
6. Se elaboran las Gráficas de Magnitud y Fase en función de la frecuencia angular (ω).
7. Sobre la Gráfica de Fase, se determina el valor de la Frecuencia de Cruce de Fase (ωc). Para ello, se dibuja una línea horizontal desde -180° hasta la curva de fase. Desde este punto, se traza una línea vertical hasta el eje de frecuencias. Este punto define la frecuencia de cruce de fase (ωc).
8. Sobre la Gráfica de Magnitud, desde el valor de la frecuencia de cruce de fase (ωc), se dibuja una línea vertical hasta la curva de magnitud. Desde este punto, se traza una línea horizontal hasta el eje de la magnitud. La diferencia entre este punto y 0 dB nos proporcionará el Margen de Ganancia (MG).
9. Sobre la Gráfica de Magnitud, se determina el valor de la Frecuencia de Cruce de Magnitud (ωg). Desde el punto de 0 dB, se traza una línea horizontal hasta la curva de magnitud. Desde este punto, se traza una línea vertical hasta el eje de las frecuencias. Este punto define la frecuencia de cruce de magnitud (ωg).
10. Sobre la Gráfica de Fase, y desde el valor de la frecuencia de cruce de magnitud (ωg), se dibuja una línea vertical hasta la curva de fase. Desde este punto, se dibuja una línea horizontal hasta el eje de la fase. La diferencia entre este punto y -180° nos proporcionará el Margen de Fase (MF).
11. Para que el sistema sea estable, tanto el margen de ganancia (MG) como el margen de fase (MF) deben ser mayores que cero. Es decir: MG > 0 y MF > 0 para un Sistema Estable.