Estudio de Funciones, Determinantes y Geometría en el Espacio

Estudio de Funciones

Crecimiento y decrecimiento

1. Se deriva la ecuación.
2. Se estudia el signo: (-) decrece, (+) crece, (0) ni crece ni decrece.
3. Se construye una tabla con la función derivada resultante.

Máximos y mínimos (Extremos relativos)

1. Obtener la función derivada.
2. Igualar la derivada a 0 y resolver la ecuación.
3. Evaluar la derivada a la izquierda y derecha de los puntos críticos: si cambia de signo (negativo a positivo o viceversa), se determina si es un máximo o un mínimo.

Concavidad y convexidad

1. Hallar la primera derivada.
2. Hallar la segunda derivada e igualarla a 0 para obtener los puntos de inflexión.
3. Realizar una tabla con la segunda derivada: si es negativa, la función es convexa; si es positiva, es cóncava.

Asíntotas

• Vertical: Se calcula el límite cuando la función no existe por la derecha y por la izquierda; debe dar ± infinito.
• Horizontal: Se calcula el límite en ± infinito; debe dar un número real.
• Oblicua: Se divide el numerador entre el denominador o se utiliza la fórmula y = mx + n, donde m = lim (f(x)/x) en el infinito. Si m es un número, se calcula n.

Propiedades de los determinantes

• 1. El determinante de una matriz y el de su traspuesta son iguales.
• 2. Si todos los elementos de una línea son ceros, el determinante vale 0.
• 3. Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas paralelas, el valor del determinante cambia de signo.
• 4. Si un determinante tiene dos líneas paralelas iguales, el determinante vale 0.
• 5. Si se multiplica todos los elementos de una línea por un número real, el valor del determinante queda multiplicado por ese número.
• 6. Un determinante con dos líneas paralelas proporcionales vale 0.
• 7. Si cada elemento de una línea es la suma de dos o más sumandos, el determinante es igual a la suma de los determinantes que se forman al sustituir dicha línea por los sumandos.
• 8. Si una línea es combinación lineal de las demás líneas paralelas, el determinante vale 0.
• 9. Si en un determinante, a una línea se le suma una combinación lineal de las líneas restantes, el valor del determinante no varía.
• 10. La suma de los productos de una línea por los adjuntos de una línea paralela vale cero.
• 11. Dadas dos matrices cuadradas A y B, se cumple que |A * B| = |A| * |B|.

Matriz inversa

A^-1 = (1 / |A|) * (Adj(A)^t)

Geometría en el espacio: Ecuaciones del plano

Dados el punto P(1,0,0) y los vectores directores v1(1,1,0) y v2(0,0,-1):

• Ecuación vectorial: (x,y,z) = (1,0,0) + λ(1,1,0) + α(0,0,-1)
• Ecuación paramétrica: x = 1 + λ, y = λ, z = -α
• Ecuación general: Calculada mediante el determinante de la matriz |x-1, y, z; 1, 1, 0; 0, 0, -1|, resulta en: -x + y + 1 = 0.

Vector normal de un plano

Para el plano 3x + 4y - 4z + 3 = 0, el vector normal es n = (3, 4, -4).

Ecuación del plano por 3 puntos no alineados

Dados A(-1,0,-1), B(-1,-1,0) y C(0,1,-1):

• Vector AB = (0, -1, 1)
• Vector AC = (1, 1, 0)
• Se resuelve mediante el determinante: |x+1, y, z+1; 0, -1, 1; 1, 1, 0| = 0.