Estudio Completo de Funciones: Lineales, Cuadráticas e Interpolación

1. Las Funciones y su Estudio

El dominio de una función son los valores que puede tomar la variable independiente, generalmente representada por 'x'.

Restricciones del Dominio

El dominio de una función puede estar restringido por:

• El contexto real del que se ha extraído la función.
• La imposibilidad de realizar alguna operación con ciertos valores de 'x' (por ejemplo, un denominador que se anula en una fracción algebraica o un número negativo dentro de una raíz cuadrada).
• La voluntad de quien propone la función.

2. Funciones Lineales e Interpolación

2.1 Funciones Lineales

Las funciones lineales se describen con la ecuación y = mx + n, donde:

• m es la pendiente.
• n es la ordenada en el origen, el punto donde la línea corta el eje 'y'.

Para hallar la pendiente (m): m = (Y2 - Y1) / (X2 - X1)

Si se conoce un punto (X0, Y0) y la pendiente (m) de una función lineal, se puede usar la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta:

Y = m(X - X0) + Y0

2.2 Interpolación Lineal

Si una función pasa por los puntos A(X0, Y0) y B(X1, Y1), y se asume que la función es lineal en el intervalo [X0, X1], se puede hallar el valor de la función para cualquier abscisa 'X' en este intervalo. Esto se conoce como interpolación lineal.

Si X ∈ (X0, X1), entonces: f(X) = (Y1 - Y0) / (X1 - X0) * (X - X0) + Y0

Si 'X' está fuera del intervalo [X0, X1], el proceso se llama extrapolación.

3. Funciones Cuadráticas e Interpolación

Las funciones cuadráticas son funciones de segundo grado y se representan gráficamente mediante una parábola.

• Tienen sus ejes paralelos al eje 'y'.
• La forma de la parábola depende del valor de 'a':
  • Si 'a' es positivo, la parábola se abre hacia arriba.
  • Si 'a' es negativo, la parábola se abre hacia abajo.
• La abscisa del vértice de la parábola y = ax² + bx + c es x0 = -b / 2a.

3.1 Parábola que Pasa por Tres Puntos

Si los puntos A, B y C no están alineados, existe una única parábola que pasa por ellos. Para determinarla, se usa la ecuación general y = ax² + bx + c y se resuelve un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas (a, b, c) para que la parábola pase por cada uno de los tres puntos.

3.2 Método de Newton para Obtener la Ecuación de una Parábola

El método de Newton permite hallar la ecuación de la parábola que pasa por tres puntos, A(x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3), de forma más eficiente.

La fórmula es: y = p + m(x - x1) + n(x - x1)(x - x2)

Ejemplo: Hallar la ecuación de la parábola que pasa por los puntos (2, -1), (6, -5) y (10, 7) usando el método de Newton.

1. Escribir la ecuación de la parábola: y = p + m(x - 2) + n(x - 2)(x - 6)
2. Imponer que pase por los tres puntos dados:
   • (2, -1) → -1 = p → p = -1
   • (6, -5) → -5 = p + 4m → -5 = -1 + 4m → m = -1
   • (10, 7) → 7 = p + 8m + 32n → 7 = -1 - 8 + 32n → n = 1/2
3. La ecuación resultante es: y = (1/2)(x - 2)(x - 6) - (x - 2) - 1

3.3 Interpolación Parabólica

Si solo se conocen tres puntos A, B y C de una función (x1 < x2 < x3), se pueden aproximar nuevos valores de la función utilizando la parábola que pasa por esos puntos. Esto es la interpolación parabólica.

• Si 'x' está en el intervalo [x1, x3], es una interpolación.
• Si 'x' está fuera del intervalo [x1, x3], es una extrapolación.

Se utiliza la fórmula: y = p + m(x - x1) + n(x - x1)(x - x2), que simplificada es y = p + mx + n(x-x1)(x-x2)