Estudio Completo de Funciones: Dominio, Asíntotas, Derivadas y Continuidad

Estudio Completo de Funciones: Pasos Esenciales

Para comprender a fondo el comportamiento de una función, es fundamental seguir una serie de pasos sistemáticos. A continuación, se detalla la metodología para realizar un estudio completo, incluyendo el dominio, los puntos de corte, las asíntotas, el crecimiento y la concavidad.

1. Dominio de la Función

Identifica los valores de x que hacen que el denominador sea igual a cero. Estos valores no pertenecen al dominio de la función, ya que la división por cero es indefinida.

2. Cortes con los Ejes Coordenados

• Corte con el Eje Y

  Sustituye x = 0 en la función. El punto de corte es (0, f(0)), siempre y cuando x = 0 esté en el dominio de la función.

• Cortes con el Eje X

  Iguala f(x) = 0. Esto ocurre cuando el numerador es 0 y el denominador no lo es. Los valores de x que cumplen esta condición son los cortes con el eje X, representados como (x, 0).

3. Asíntotas

• Asíntotas Verticales

  Son los valores de x que anulan el denominador y no se cancelan con el numerador. Para estos valores, la función tiende a infinito.

• Asíntotas Horizontales u Oblicuas

  Compara los grados de los polinomios del numerador y del denominador:

  • Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador: Existe una asíntota horizontal en y = 0.
  • Si los grados son iguales: Existe una asíntota horizontal en y = (coeficiente principal del numerador) / (coeficiente principal del denominador).
  • Si el grado del numerador tiene 1 grado más que el grado del denominador: Divide los polinomios para encontrar la ecuación de la asíntota oblicua.

4. Primera Derivada

Aplica la regla del cociente (o la regla de derivación correspondiente) para obtener la primera derivada de la función, f'(x).

5. Crecimiento y Extremos Relativos

Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos relativos:

• Iguala f'(x) = 0 para encontrar los puntos críticos.
• Realiza un estudio de signos de f'(x) en los intervalos definidos por los puntos críticos y las asíntotas verticales.
• Si f'(x) cambia de signo de positivo a negativo: Hay un máximo relativo.
• Si f'(x) cambia de signo de negativo a positivo: Hay un mínimo relativo.
• Señala los intervalos donde la función crece o decrece.

6. Segunda Derivada (Opcional pero Recomendable)

Deriva f'(x) para obtener la segunda derivada, f''(x). Estudia el signo de f''(x) para analizar la forma de la curva (concavidad y convexidad):

• Si f''(x) > 0: La función es convexa (abre hacia arriba).
• Si f''(x) < 0: La función es cóncava (abre hacia abajo).
• Si f''(x) cambia de signo en un punto: Existe un punto de inflexión.

Continuidad y Derivabilidad de Funciones por Tramos

El estudio de la continuidad y derivabilidad es crucial, especialmente en funciones definidas por tramos. Aquí se detalla el proceso:

1. Identificación de Puntos de Cambio

Observa los valores de x donde la expresión de la función cambia. Estos son los únicos candidatos donde la función podría no ser continua o no ser derivable.

2. Comprobación de la Continuidad

Para cada punto de cambio x = a, verifica la continuidad calculando y comparando:

• El límite lateral por la izquierda: lim_x→a^- f(x)
• El límite lateral por la derecha: lim_x→a⁺ f(x)
• El valor de la función en ese punto: f(a)

Si los tres valores coinciden, la función es continua en x = a. Si no coinciden, la función no es continua y, por lo tanto, tampoco es derivable en ese punto.

3. Comprobación de la Derivabilidad (Si es Continua)

Si la función es continua en x = a, procede a comprobar su derivabilidad:

• Deriva cada trozo de la función por separado para obtener f'(x).
• Calcula el límite de la derivada por la izquierda en x = a: lim_x→a^- f'(x)
• Calcula el límite de la derivada por la derecha en x = a: lim_x→a⁺ f'(x)
• Compara ambos límites:
  • Si coinciden, la función es derivable en x = a.
  • Si no coinciden, la función no es derivable en x = a.

4. Conclusión sobre Continuidad y Derivabilidad

• Si la función es continua y las derivadas laterales coinciden: Es derivable.
• Si la función no es continua: Directamente no es derivable.
• Si la función es continua pero las derivadas laterales son distintas: No es derivable.

5. Función Derivada por Tramos (Opcional)

Si se solicita, escribe la función derivada f'(x) como una función por tramos, especificando cada tramo para los intervalos donde la función original estaba definida.