Estudio Completo de Funciones: Derivadas, Concavidad y Asíntotas

Se presentan dos funciones para su análisis exhaustivo, incluyendo el cálculo de derivadas, estudio de la concavidad/convexidad, determinación de asíntotas y aplicación de teoremas relevantes.

Función 1: f(x) = x + e^-x

Derivada y Extremos Relativos

Calculamos la primera derivada:

f'(x) = 1 - e^-x

Esta derivada se anula para x = 0 y no tiene discontinuidades.

• En el intervalo (-∞, 0), f'(x) < 0, por lo tanto, f(x) es decreciente.
• En el intervalo (0, ∞), f'(x) > 0, por lo tanto, f(x) es creciente.
• En x = 0, la derivada cambia de negativa a positiva, indicando un mínimo relativo.

Concavidad y Convexidad

Calculamos la segunda derivada:

f''(x) = e^-x

Esta derivada nunca se anula y siempre es positiva.

• En el intervalo (-∞, ∞), f''(x) > 0, por lo tanto, f(x) es cóncava.

Asíntotas

Asíntotas Verticales: La función es continua en ℝ, por lo tanto, no tiene asíntotas verticales.

Asíntotas Horizontales y Oblicuas:

• Límite en -∞:

  No tiene asíntota horizontal en -∞. Se investiga la posible existencia de una asíntota oblicua y = mx + n:

  El límite para calcular m no es finito, por lo que no hay asíntota oblicua en -∞.

• Límite en +∞:

  No tiene asíntota horizontal en +∞. Se investiga la posible existencia de una asíntota oblicua y = ax + b:

  La recta y = x es una asíntota oblicua.

Aplicación del Teorema de Darboux

La función f(x) = x + e^-x es continua en el intervalo [0, 5], con f(0) = 1 y f(5) = 5 + e^-5. Según el teorema de Darboux, cualquier valor entre f(0) y f(5) es alcanzado por f(x) al menos en un punto del intervalo (0, 5). Como 4 ∈ (1, 5 + e^-5), existe c ∈ (0, 5) tal que f(c) = 4, lo que implica que c + e^-c = 4.

Función 2: f(x) = 2 - x + ln(x), con x ∈ (0, +∞)

Derivada y Extremos Relativos

f'(x) = -1 + (1/x) = (1 - x) / x

Esta derivada se anula para x = 1.

• En el intervalo (0, 1), f'(x) > 0, por lo tanto, f(x) es creciente.
• En el intervalo (1, +∞), f'(x) < 0, por lo tanto, f(x) es decreciente.
• En x = 1, f'(1) = 0 y f'(x) cambia de positiva a negativa, indicando un máximo relativo. En este punto, f(1) = 1.

Concavidad y Convexidad

f''(x) = -1 / x²

Esta derivada nunca se anula.

• En el intervalo (0, +∞), f''(x) < 0, por lo tanto, f(x) es convexa.

Asíntotas

Asíntotas Verticales:

La recta x = 0 es una asíntota vertical.

Asíntotas Horizontales y Oblicuas:

No tiene asíntota horizontal. Se investiga la posible existencia de una asíntota oblicua y = mx + n:

No tiene asíntota oblicua.

Aplicación del Teorema de Bolzano

La función f(x) es continua en el intervalo [1/e², 1]. Por lo tanto, f(x) verifica las hipótesis del teorema de Bolzano en este intervalo, y existe un valor c ∈ (1/e², 1) tal que f(c) = 0.

Función 3: f(x) = |x² - x - 2|

Derivabilidad en x = 2

Se calculan las derivadas laterales en x = 2. Dado que la función es continua en este punto:

• f'(2^-) = lim_x→2^- f'(x) = lim_x→2^- (-2x + 1) = -3
• f'(2⁺) = lim_x→2⁺ f'(x) = lim_x→2⁺ (2x - 1) = 3

Como las derivadas laterales no coinciden, la función no es derivable en x = 2.