Estrategias y Modelos Fundamentales en la Resolución de Problemas Matemáticos

Introducción a la Resolución de Problemas

La resolución de problemas se considera un tema estrella en el ámbito de las nuevas metodologías educativas, destacándose en numerosos informes y artículos, como el influyente informe Cockcroft.

1. Fundamentos de la Resolución de Problemas en Matemáticas

1.1. ¿Qué es un Problema Matemático y Cómo se Resuelve?

Un problema matemático se define como una situación que se plantea con una dificultad inherente, la cual deseamos resolver sin conocer de antemano un camino directo para ello. Resolver un problema implica, por tanto, buscar un procedimiento para alcanzar un fin que no es del todo accesible inicialmente.

Propiedades de un problema:

• Constituye un desafío.
• No debe generar bloqueo, sino estimular.
• Incita a presentar y discutir la solución con otros.
• No debe ser una "trampa" o un ejercicio de aplicación directa de una fórmula conocida sin más.

1.2. La Heurística en la Resolución de Problemas

Pappus de Alejandría (mencionado como 2ac en el texto original, generalmente datado en el siglo IV d.C.) escribió el tratado "El arte de resolver problemas".

La heurística (del griego heuriskein: hallar, inventar) es el arte o la ciencia del descubrimiento. Se enfoca en comprender y aplicar métodos y estrategias que conducen a la solución de problemas. Tiende a la generalidad y trata de buscar los puntos comunes en las diferentes formas de resolución.

2. Modelos para Abordar Problemas Matemáticos

Existen diversos modelos que estructuran el proceso de resolución de problemas. A continuación, se presentan algunos de los más influyentes:

2.1. Modelo de George Pólya

Pólya propone un modelo en cuatro fases:

1. Fase introductoria (Comprender el problema): Entender el enunciado, identificar la incógnita, los datos y las condiciones.
2. Fase exploratoria (Concebir un plan o estrategia): Captar las relaciones entre los elementos del problema y trazar un plan. Probar diversos procedimientos hasta encontrar el adecuado.
3. Fase de resolución (Ejecutar el plan): Aplicar la estrategia elegida, llevando a cabo los pasos necesarios.
4. Fase de comparación (Visión retrospectiva / Examinar la solución obtenida): Revisar la solución, verificar el resultado y el razonamiento, y discutir el proceso.

2.2. Modelo de Mason, Burton y Staley

En su libro Pensar matemáticamente, John Mason, Leone Burton y Kaye Stacey proponen un modelo con tres fases principales:

• Abordaje: Implica entender el problema, identificar qué se sabe, qué se quiere y qué se puede usar.
• Ataque: Es el núcleo del proceso, donde se formulan conjeturas y se ensayan diferentes enfoques y estrategias. Este modelo, que nace del de Pólya pero es más global, describe un proceso que puede ser iterativo ('de uno en uno abajo, de uno en uno arriba, de abajo total hasta arriba'), enfatizando la transición entre la particularización y la generalización.
• Revisión: Consiste en comprobar la solución, reflexionar sobre las ideas clave y el proceso seguido, y generalizar los resultados a un contexto más amplio.

2.3. Modelo de Miguel de Guzmán

Miguel de Guzmán, en su libro Para pensar mejor, destaca varios componentes y un modelo para la resolución de problemas:

• a) Actitud inicial: Subraya la importancia de las condiciones personales y culturales, así como las características de la personalidad que ayudan a no bloquearse ante las dificultades.
• b) Protocolo o retrato heurístico: Un esquema de los pasos mentales y estrategias que se suelen seguir.
• c) Modelo para la ocupación con problemas: Describe fases como familiarización con el problema, búsqueda de estrategias, desarrollo de la estrategia y revisión del proceso y la solución.
• d) Modelo IDEAL (propuesto por Bransford y Stein, y adaptado por Guzmán):
  • Identificación del problema.
  • Definición y representación del problema.
  • Exploración de estrategias posibles.
  • Actuación basada en una estrategia.
  • Logros (evaluación de los resultados y del proceso).

3. Estrategias Heurísticas Clave

Las estrategias heurísticas son reglas o métodos generales que ayudan a encontrar la solución de un problema. Algunas de las más comunes son:

• a) Razonamiento regresivo (trabajar hacia atrás): Atribuido a Pappus. Para él, la heurística estudia métodos de análisis (partir de lo que se busca y trabajar hacia las condiciones dadas) y síntesis (partir de lo conocido y avanzar hacia la solución).
• b) Generalización: Estudiar un conjunto más amplio de situaciones entre las que se encuentra el caso particular. Es una forma de inducción: descubrir leyes o patrones generales a partir de la observación de casos particulares.
• c) Particularización: Pasar de la consideración de un conjunto de elementos a un subconjunto más pequeño o a un caso individual. Un ejemplo importante es el uso del contraejemplo para demostrar que una proposición es falsa, encontrando un caso específico que no la cumpla.
• d) Descomponer y recomponer el problema: Dividir el problema en partes más pequeñas y manejables, o reformularlo. Esto puede implicar: conservar la incógnita y variar los datos y condiciones; conservar los datos y variar la incógnita; o cambiar tanto la incógnita como las condiciones.
• e) Representación gráfica: Utilizar diagramas, esquemas, tablas o dibujos para visualizar el problema y sus relaciones.
• f) Analogía: Buscar similitudes entre el problema actual y otros problemas ya resueltos o situaciones conocidas.
• g) Reducción al absurdo: Establecer la verdad de una afirmación demostrando que la suposición de su falsedad conduce a una contradicción.
• h) Simulación: Modelar la situación problemática o realizar el experimento para entenderlo mejor, especialmente útil en problemas de probabilidad y azar.

4. Relevancia Histórica de la Resolución de Problemas

4.1. Figuras Clave en la Historia de la Resolución de Problemas

• Pappus de Alejandría: Destacó por sus métodos de análisis y síntesis.
• René Descartes: Mostró un profundo interés por la resolución de problemas y dejó inacabado su "método universal".
• Bernard Bolzano: Intentó recopilar y sistematizar diversos métodos de resolución.

4.2. Evolución de Estrategias a lo Largo del Tiempo

• Civilizaciones prehelénicas: Se enfocaron en la solución de problemas prácticos. El Papiro de Ahmes (o Papiro Rhind) evidencia el uso de la "regula falsi" (método de la falsa posición).
• Matemática griega: Con un fuerte énfasis en la geometría, figuras como Hipócrates de Quíos, Euclides y Arquímedes utilizaron la demostración por inducción y la reducción al absurdo.
• Blaise Pascal: Realizó contribuciones significativas al desarrollo de la inducción matemática.
• Generalización y particularización: Numerosos matemáticos, como Leonhard Euler, utilizaron extensivamente estas estrategias.
• Evolución de la notación: Se transitó desde el álgebra retórica (expresada completamente en palabras), pasando por la sincopada (con algunas abreviaturas), hasta la simbólica que utilizamos actualmente.

4.3. La Resolución de Problemas como Impulso al Avance Matemático

La resolución de problemas ha sido una fuente constante de inspiración para la obtención de nuevos resultados y el desarrollo de teorías matemáticas.

• La necesidad de resolver problemas prácticos, como la parcelación de tierras, impulsó los conocimientos geométricos en el antiguo Egipto.
• La espiral de Arquímedes surgió de la investigación de un problema geométrico.
• El Último Teorema de Fermat, aunque inicialmente un problema aislado, estimuló enormemente el desarrollo de la teoría de números durante siglos.
• La teoría de conjuntos se formalizó, en parte, para resolver problemas fundamentales sobre las series trigonométricas.
• El estudio de las partículas subatómicas en física ha profundizado y encontrado nuevas aplicaciones para la teoría de grupos.

Bibliografía

• Cockcroft, W. H. (Comité). (1982). Las matemáticas sí cuentan (Informe Cockcroft). Ministerio de Educación y Ciencia (MEC). Madrid.
• Pólya, G. (1995). Cómo plantear y resolver problemas. Editorial Trillas. México. (Fecha de la edición citada en el original; la obra original es de 1945).
• Guzmán, M. de (1995). Para pensar mejor: Desarrollo de la creatividad a través de los procesos matemáticos. Ediciones Pirámide. Madrid.