Estimadores Estadísticos: Insesgadez, Eficiencia, Consistencia y Contrastes de Hipótesis

Estimadores Estadísticos y Contrastes de Hipótesis

En estadística, es fundamental comprender las propiedades de los estimadores y cómo realizar contrastes de hipótesis. A continuación, se detallan los conceptos clave:

Propiedades de los Estimadores

• Insesgadez: Un estimador es insesgado si su valor esperado coincide con el parámetro a estimar. Esto significa que su función de densidad (o función de probabilidad en caso discreto) está centrada en el parámetro a estimar, proporcionando valores "alrededor" del parámetro.
• Eficiencia: Un estimador es eficiente si su varianza coincide con la cota de Cramer-Rao. En este caso, será el estimador de menor varianza entre los estimadores insesgados.
• Consistencia: Un estimador es consistente si converge en probabilidad hacia el parámetro que estima. Es decir, a partir de un tamaño muestral suficientemente grande, es muy probable que el valor del estimador difiera poco del parámetro a estimar. Matemáticamente, esto se expresa como:
  • Límite cuando n tiende a infinito de la esperanza = estimador
  • Límite cuando n tiende a infinito de la varianza = 0

Pivotes y Distribuciones

Los pivotes son funciones de la muestra y del parámetro desconocido cuya distribución no depende del parámetro. Algunos ejemplos comunes incluyen:

1. Distribución Normal:
   • Para la media (μ) con desviación estándar (σ) conocida y para la distribución de Bernoulli: (^p - p) / √( ^p * (1 - ^p) / n )
   • Para la media (μ) con desviación estándar (σ) desconocida y para datos pareados con diferencia media (D̄): (D̄ - μ_d) / (S_cd / √n) → N(0,1)
   • Para la varianza (σ²) de una distribución normal: Intervalo de Confianza (IC) para σ²
2. Sin Asumir Normalidad:
   • Todo conocido.
   • Normal con desviación estándar (σ) desconocida pero igual.
   • Normal con desviaciones estándar (σ) desconocidas y distintas.
   • Ratio de varianzas.

Determinación de Tamaños Muestrales

El tamaño muestral es crucial para obtener resultados precisos. Bajo normalidad:

• Con varianza conocida: n = (Z_α/2 * σ / E)²
• Con varianza desconocida: n = (t_α/2 * S_c / E)²
• Para proporciones: n = (Z_α/2)² * p̂ * (1 - p̂) / E²

Donde:

• S_x²: Cuasi desviación típica al cuadrado (cuasi varianza)
• S_c: Desviación típica muestral
• σ²: Varianza

Teorema Central del Límite (TCL)

El Teorema Central del Límite es fundamental para aproximar distribuciones. Ni Bernoulli ni Poisson:

• X_i ≈ N(n * μ, σ * √n) → (∑X_i - n * μ) / (σ * √n) → N(0,1)
• Media ≈ N(μ, σ / √n) → (Media - μ) / (σ / √n) → N(0,1)

Casos Particulares

• Distribución Binomial: X → B(p)
  • ∑X_i → N(n * p, √(n * p * q)) → (∑X_i - n * p) / √(n * p * q) ≈ N(0,1)
  • Media ≈ N(p, √(p * q / n)) → (Media - p) / √(p * q / n) ≈ N(0,1)
• Distribución de Poisson: X → P(λ)
  • ∑X_i ≈ N(n * λ, √(n * λ)) → (∑X_i - n * λ) / √(n * λ) ≈ N(0,1)
  • Media ≈ N(λ, √(λ / n)) → (Media - λ) / √(λ / n) ≈ N(0,1)

Contrastes de Hipótesis

Población Normal con σ Conocida

Pivote Ib)

• H₀: μ ≤ μ₀
• H₁: μ > μ₀
• Región Crítica: C = {z* > z_α}
• Valor p: P(H₀, z* > z_obs)

• H₀: μ = μ₀
• H₁: μ ≠ μ₀
• Región Crítica: C = {|z*| > z_α/2}
• Valor p: 2 * P(H₀, z* > |z_obs|)

Población Normal con σ Desconocida

Pivote Ic)

Similar al caso anterior, pero utilizando la distribución t en lugar de la distribución normal (z).

Contraste para la Varianza

Pivote 1d)

• H₀: σ² ≤ σ₀²
• H₁: σ² > σ₀²
• Región Crítica: C = {χ² > χ²_1-α}
• Valor p: P(χ²_n-1 > χ²)

Contraste para una Proporción

• H₀: p ≤ p₀
• H₁: p > p₀
• Región Crítica: C = {∑X_i > K_α}
• Valor p: P(H₀, ∑X_i > ∑X_{i obs})