Estimación de Parámetros y Contraste de Hipótesis en Estadística

Estimación de Parámetros

Objetivo de la Estadística

El objetivo de la estadística es hacer inferencias sobre las poblaciones. Sus métodos son la estimación y el contraste de hipótesis.

Problemas Inferenciales

Existen dos tipos de problemas inferenciales:

A) Estimación de Parámetros

• Estimación puntual
• Estimación por intervalos

B) Comprobación de Hipótesis

Estimador de un Parámetro

Un estimador de un parámetro es una función establecida a partir de los datos de una muestra que cuantifica una característica para estimar el parámetro poblacional.

Problemas de la Estimación Puntual

• Siempre es posible disponer de un estadístico diferente.
• No hay forma de decir cuál es ideal para una estimación.
• Hay que determinar las propiedades que debe reunir un estadístico para considerarse un buen estimador.

Estimadores

• Media
• Proporción
• Varianza

Problema de la Estimación Puntual

El valor del estadístico a veces no coincide con el parámetro, existe variación muestral a la que llamamos error muestral (E). En la estimación puntual NO hay forma de conocer el valor de E, no sabemos si el error es grande o pequeño. Este problema se resuelve con la estimación por intervalos.

Estimador Insesgado

Un estimador es insesgado si la media del estimador coincide con el verdadero valor del parámetro.

Sesgo de un Investigador

La diferencia entre la media del estimador y su verdadero valor.

Estimador Eficiente

Un estimador es eficiente si es insesgado y de mínima varianza.

Estimador Suficiente

Un estimador es suficiente cuando para su cálculo utiliza toda la información de la muestra.

Estimador Consistente

Un estimador es consistente si la distribución del estimador tiende a concentrarse en un cierto punto.

Métodos de Construcción de Estimadores

• Método de los momentos
• Método de mínimos cuadrados
• Método de máxima verosimilitud

Estimación por Intervalos

La variabilidad del parámetro se mide mediante la desviación típica. El error de estimación corresponde a la amplitud del intervalo. Cuanto mayor sea la precisión, más estrecho debe ser el intervalo de confianza, por lo tanto, menor error y más sujetos.

Nivel de Confianza

Es la probabilidad de que el verdadero valor del parámetro estimado en la población se sitúe en el intervalo de confianza obtenido (1-a).

Valor a (Nivel de Significación)

Probabilidad de fallar en nuestra estimación (1-a).

Valor Crítico

Valor de la abscisa en una determinada distribución (Za/2).

Contraste de Hipótesis

Nos permite decidir si una proposición puede ser mantenida o rechazada.

Hipótesis Científica

Es una afirmación sobre la distribución del atributo y la variable en la población.

Pasos para Realizar un Contraste

1. Transformar una hipótesis científica en hipótesis estadística.
2. Buscar evidencia empírica. Una discrepancia entre la hipótesis y el resultado indica:
   • Hipótesis correcta y diferencias debidas al azar.
   • La hipótesis es incorrecta.

Necesitamos tener una regla de decisión para saber cuán grande es el error.

Contraste de Hipótesis

Es un proceso de decisión que nos indica si una hipótesis en términos estadísticos es puesta en relación con los datos empíricos para determinar si es o no compatible con ellos.

Tipos de Contraste

• Paramétrico
• No paramétrico

Hipótesis Estadísticas

Es una afirmación sobre una o más distribuciones de probabilidad (H). Pueden ser simples o compuestas.

Hipótesis Nula (Ho)

La que se somete a contraste (afirmación concreta sobre la forma de una distribución de probabilidad).

Hipótesis Alternativa (H1)

La negación de la nula (incluye todo lo que Ho excluye). La hipótesis nula y alternativa se plantean como rivales. Son exhaustivas y exclusivas, si una es verdadera la otra es falsa.

Hipótesis Simple

Si se especifica completamente la distribución.

Hipótesis Compuesta

En caso contrario.

Contraste Unilateral

Cuando en H1 aparece <>.

Contraste Bilateral

Cuando en H1 aparece =/.

Supuestos

Conjunto de afirmaciones que necesitamos establecer para poder determinar la distribución de probabilidad en la que se basará nuestra decisión sobre la Ho.

Estadístico de Contraste

Resultado muestral que permite:

• Proporcionar información sobre la afirmación de Ho.
• Poseer una distribución muestral cuando la Ho sea cierta.

Regla de Decisión

Criterio que seguimos para ver si Ho se mantiene. Se basa en la participación de dos zonas:

• Zona de Rechazo (Crítica): Área que corresponde a los valores del estadístico de contraste, que se encuentran tan alejados de la afirmación Ho que es muy poco probable que ocurran, si la Ho es correcta. (Probabilidad es a, nivel de significación o de riesgo).
• Zona de Aceptación: Área que corresponde a los valores próximos a la afirmación establecida en la Ho. (Probabilidad es 1-a (nivel de confianza)).

La regla de decisión consiste en rechazar la Ho si toma un valor que pertenece a la zona de rechazo o mantenerla si pertenece a la zona de aceptación.

Los contrastes de hipótesis pueden ser:

• Bilaterales (zona crítica a los lados y la de aceptación en medio)
• Unilaterales (zona crítica en un lateral)

Errores

• Error Tipo I (a): Error cometido al rechazar la Ho siendo verdadera.
• Error Tipo II (B): Error cometido al aceptar la Ho siendo falsa.

Potencia de un Contraste

(1-B) Es la probabilidad de rechazar una Ho que es falsa.

Contrastes de Significación

Test en los cuales la Ho es una hipótesis simple, consta de un solo punto del espacio paramétrico. Se pretende ver si un parámetro de la población difiere significativamente de un valor que representa ausencia de efecto.