Estimación Estadística y Contraste de Hipótesis: Conceptos Clave, Estimadores y Distribuciones

Estimación Estadística y Contraste de Hipótesis

Método de Máxima Verosimilitud

Sean datos muestrales X₁,...,X_n con función de densidad conjunta f(x₁,...,x_n;σ) = ∏f(x_i;σ). Para datos dados, lo anterior es función de la variable σ. Es razonable seleccionar como estimador de σ el que haga más grande la verosimilitud. El estimador de σ se obtiene en el máximo.

Un estimador suficiente es aquel que contiene la misma información que la muestra; por tanto, los estimadores razonables se deben obtener en función de los estimadores suficientes.

Método de los Momentos

Se trata de igualar los momentos poblacionales con los momentos muestrales y despejar el parámetro a estimar.

• La principal ventaja es su simplicidad.
• Los estimadores obtenidos son consistentes, pero no son centrados ni eficientes en general.
• El método de máxima verosimilitud y el de los momentos coinciden en todas aquellas distribuciones cuya función de densidad tiene forma exponencial y cuya derivada del exponente sea un polinomio en x.

Propiedades de los Estimadores

Estimador insesgado

Un estimador es insesgado si su valor esperado coincide con el valor del parámetro que pretende estimar. Para comprobar la insesgadez se debe obtener su distribución de probabilidad y calcular la esperanza.

Estimador consistente

Un estimador es consistente si la probabilidad de cometer errores de estimación tiende a ser despreciable cuando el tamaño de la muestra aumenta considerablemente. Cuanto más grande sea la muestra, más cerca estará del estimador.

Estimador eficiente

Si además de oscilar alrededor de la cantidad a estimar σ, se tiene que las oscilaciones son pequeñas, entonces el estimador T(X₁,...,X_n) será mejor. Si las oscilaciones fuesen lo más pequeñas posibles, se estaría en la mejor situación; en este caso se dice que el estimador es eficiente.

Intervalos de Confianza

Es un rango de valores entre el que se estima que estará el verdadero valor del parámetro con una determinada probabilidad de acierto.

• La probabilidad de que el verdadero valor se encuentre en el intervalo de confianza se denomina nivel de confianza 1-α.
• La probabilidad de equivocarse se llama nivel de significación.

Contraste de Hipótesis

Sea X una variable aleatoria con función de densidad f(x,σ), donde el parámetro σ es desconocido y pertenece a un conjunto llamado espacio paramétrico.

• H₀ (hipótesis nula): el verdadero valor se encuentra en el subconjunto.
• H₁ (hipótesis alternativa): el verdadero valor se encuentra fuera del subconjunto.

Región de rechazo

Es un conjunto de muestras difícilmente observables, suponiendo que la hipótesis nula es cierta. Si se extrae una muestra y pertenece a la región de rechazo, podemos sospechar que la hipótesis nula es falsa.

P-valor

Es la probabilidad de obtener una discrepancia mayor o igual que la observada en la muestra, suponiendo que H₀ es cierta. Para una muestra concreta, el estadístico será un número concreto; entendemos por p-valor la probabilidad de que una variable tome un valor en la región señalada en el gráfico.

• El p-valor, entre 0 y 1, es el nivel de significación más pequeño que conduce al rechazo de H₀.
• Si p-valor < α, se rechaza H₀.
• Si p-valor > α, no se rechaza H₀.

Distribuciones de Probabilidad

Distribución Chi-cuadrado (χ²)

Es la suma de los cuadrados de n variables N(0,1) independientes. La distribución es reproductiva. El recorrido de la variable son todos los números reales positivos.

• E = n
• VAR = 2n

Distribución F de Snedecor

Surge del cociente de dos distribuciones χ² independientes, cada una ponderada por sus grados de libertad. El recorrido de la variable son los números reales positivos.

• E = n / (n − 2), con n ≥ 3.

Distribución Normal N(μ, σ)

Hacemos un cambio de origen y de escala en la variable: Z = (X − μ)/σ ~ N(0,1), con μ ∈ ℝ.

• El parámetro μ es la media poblacional; geométricamente es un factor de traslación.
• El parámetro σ (desviación típica poblacional) es un factor de escala y de grado de dispersión. El parámetro σ² es la varianza poblacional.
• E(X) = μ; Var(X) = σ².

Como μ y σ pueden tomar infinitos valores, es imposible calcular las probabilidades directamente; para solucionarlo se debe tipificar: Z = (X − μ)/σ.

Un conjunto de variables aleatorias independientes con distribución normal, cada una de ellas, cualquier combinación lineal sigue una distribución normal.