Estadística inferencial: ejercicios sobre estimadores, pruebas t, F y chi-cuadrado

Ejercicios y ejercicios resueltos de estadística

1. Verdadero/Falso

1. 1. Un parámetro es una función definida sobre una variable que caracteriza a una muestra. Falso, caracteriza a una población.

2. 2. Un estimador es más eficiente que otro si su varianza es menor que la del otro. Verdadero.

3. 3. Un estimador es insesgado si su esperanza es igual al valor calculado. Falso: es igual al valor del parámetro.

4. 4. Una probabilidad, intuitivamente, es el valor límite con que ocurre un suceso. Verdadero.

5. 5. El valor p es la probabilidad exacta de cometer error tipo II. Falso: es error tipo I.

2. Altura de la cruza Hereford (210 días)

Datos: M = 110 cm, σ = 8 cm, X1 = 110 cm, X2 = 140 cm

Transformación Z:

Z = (X - M) / σ

Z = (110 - 110) / 8 = 0

Z = (140 - 110) / 8 = 3.75

P(110 < X < 140) = P(0 < Z < 3.75) =

P(Z < 3.75) - P(Z < 0)

= 1 - 0,5199 = 0,48 × 100 = 48%

Gráfico: 110 - 140

3. Almacenamiento de vigor: arbusto forrajero (20 días)

Datos: M = 45, n = 20, X̄ = 53,6, S = 7,9 (desviación estándar)

(todos los datos)

a. Intervalo de confianza con α = 0,01

Error estándar (EE) = t_{α/2, gl} · S / √n

α/2 = 0,01 / 2 = 0,005 · gl = 20 - 1 = 19

t(0,005, 19) · 7,9 / √20

2,861 · 7,9 / √20 = 5,05

LI = X̄ - EE = 53,6 - 5,05 = 48,55

LS = X̄ + EE = 53,6 + 5,05 = 58,65

Pr(48,55 < M < 58,65) = 99%    IC99 = {48,55, 58,65}

b. Prueba de hipótesis

1. 1. Ho: M1 ≤ 45    El vigor del arbusto forrajero está dentro de los parámetros normales.

   H1: M > 11,5    El vigor del arbusto forrajero no está dentro de los parámetros normales.

2. 2. α = 0,01

3. 3. Prueba: t de Student → T = (X̄ - M) / (S / √n)

4. 4. Gráfica: t(0,01, 19) = 2,539 (α = 0,01, gl = 20 - 1 = 19)

5. 5. T = (53,6 - 45) / (7,9 / √20) = 4,88

   Conclusión: Rechazo la hipótesis nula; es decir, que el vigor del arbusto forrajero no está dentro de los parámetros normales.

4. Prueba F — Comparación de varianzas (investigación sobre estrés)

Datos: n = 8, α = 0,01

Vaca:

Antes: X̄ = 8,205, S = 0,82, σ² = 0,68

Después: X̄ = 7,98, S = 0,83, σ² = 0,70

1. 1. Ho: σ1² ≤ σ2²    La varianza del estrés antes de la fistulación es igual o menor que la varianza del estrés después de la fistulación.

   H1: σ1² > σ2²    La varianza del estrés antes de la fistulación es mayor que la varianza del estrés después de la fistulación.

2. 2. α = 0,01

3. 3. Estadístico F = S²_mayor / S²_menor

4. 4. Gráfica: F(0,01, 7, 7) = 6,99

5. 5. F = 0,70 / 0,68 = 1,0

   No hay suficientes evidencias para rechazar la hipótesis nula; es decir, el estrés es menor o igual después de la fistulación.

Ejercicio 5. Homogeneidad de la fertilidad de un suelo

Datos: σ² = 0,05, n = 20, X̄ = 0,468, S² = 0,0022 (total de datos)

1. 1. Ho: σ1² ≤ 0,05    El suelo es homogéneo.

   H1: σ1² > 0,05    El suelo no es homogéneo.

2. 2. α = 0,05

3. 3. Prueba: chi-cuadrado → χ² = S² (n - 1) / σ²

4. 4. Gráfica: χ²(0,05, 19) = 30,15    gl = 20 - 1 = 19

5. 5. χ² = 0,0022 (20 - 1) / 0,05 = 0,836

   Conclusión: No hay suficientes evidencias para rechazar la hipótesis nula; es decir, que el suelo es homogéneo.