Estadística descriptiva y probabilidad: conceptos, medidas y técnicas esenciales

Objetivos de la estadística descriptiva

Objetivo: describir y analizar las características de un conjunto de datos, deduciendo a partir de esta descripción conclusiones sobre su estructura, composición, comportamiento y la relación con otras poblaciones.

Definiciones básicas

Experimento

Definición: cualquier proceso que permite asociar a un individuo, elemento de una población u objeto un dato numérico o no numérico, tomado entre todos los valores de un conjunto dado a priori.

Ensayo o prueba

Ensayo o prueba: realización concreta de un experimento.

Experimento aleatorio

Experimento aleatorio: es un experimento para el cual no podemos saber el dato que se obtendrá a priori.

Población

Población: conjunto de individuos sobre los que se realiza el experimento. El tamaño puede ser finito o infinito.

Muestra

Muestra: parte de la población extraída para obtener información. El número de individuos de la muestra se conoce como tamaño muestral y se denota generalmente por n.

Variable y tipos

Variable: cualquier característica que podemos medir u observar objetivamente en un individuo. De forma general, una variable se denotará como x o z.

Tipos de variables:

• Cualitativas: el resultado no es numérico (categorías, etiquetas).
• Cuantitativas: el resultado es numérico. Dentro de las cuantitativas:
  • Discretas: toman valores numéricos finitos o infinitos numerables.
  • Continuas: toman valores en un intervalo de la recta real.

Frecuencias

• Frecuencia absoluta (f_i): número de veces que aparece un dato.
• Frecuencia relativa (h_i): proporción o % de veces que aparece x_i en el conjunto de datos.
• Frecuencia absoluta acumulada (F_i): total de veces que aparece dicho valor y todos los anteriores.
• Frecuencia relativa acumulada (H_i): % acumulado correspondiente al valor y los anteriores.

Medidas de localización

Sirven para identificar en qué zona de valores están concentrados los datos. Entre las principales:

• Media: valor numérico que representa el centro de las observaciones (promedio).
• Mediana (Me): valor que deja el 50% de los datos a su izquierda y el 50% a su derecha.
• Percentil (Q_p): valor que deja p·100% de los datos a su izquierda y el restante (1−p)·100% a su derecha. Cuando p = 0,50 se obtiene la mediana Q₅₀ = Me. Para p = 0,25 y p = 0,75 se obtienen, respectivamente, el cuartil inferior (Q1) y el cuartil superior (Q3).

Medidas de dispersión

Indican qué tan dispersas están las observaciones con respecto a una medida de localización:

• Rango: diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo de la muestra.
• Varianza: promedio de las diferencias al cuadrado entre las observaciones y su valor medio.
• Desviación estándar: raíz cuadrada de la varianza (indica dispersión en las mismas unidades que los datos).

Diagrama de dispersión y relación entre variables

Diagrama de dispersión: consiste en representar pares de datos en un sistema de ejes coordenados (eje horizontal x y eje vertical y).

Interpretación:

• Si el diagrama muestra una tendencia creciente, las variables mantienen una relación positiva (a mayor x, mayor y).
• Si muestra una tendencia decreciente, la relación es negativa (a mayor x, menor y).
• Si no hay patrón sistemático, no existe una relación aparente entre las variables.

Mínimos cuadrados

Definición: el método de mínimos cuadrados determina la recta de regresión lineal de forma que la suma de los cuadrados de los residuos (diferencias verticales entre los datos observados y los predichos por la recta) sea mínima.

Covarianza y correlación

Covarianza: mide la tendencia conjunta de dos variables a desviarse de sus medias. Si la asociación es positiva (valores bajos en una variable corresponden a valores bajos en la otra, o altos con altos), la covarianza es positiva; si una variable tiende a ser alta cuando la otra es baja, la covarianza es negativa. La covarianza depende de las unidades de las variables.

Coeficiente de correlación (ρ o r): es una medida adimensional que normaliza la covarianza y toma valores en el intervalo [-1, 1]. Si r ≠ 0 hay asociación lineal; si r = 1 o r = −1 hay una relación lineal perfecta (positiva o negativa, respectivamente).

Probabilidad

Contexto frecuentista

Según la interpretación frecuentista, cuanto más veces se repita un experimento, las frecuencias relativas de los sucesos tienden a estabilizarse, aun cuando el comportamiento sea aleatorio.

Definición axiomática de probabilidad

La definición axiomática especifica las condiciones (axiomas) mínimas que debe cumplir una función definida sobre un conjunto de sucesos para que pueda interpretarse como una probabilidad (no negatividad, probabilidad del espacio total igual a 1, aditividad sobre sucesos disjuntos).

Regla de Laplace

Si los sucesos elementales observables tienen todos la misma probabilidad, la probabilidad de cualquier suceso se obtiene como el cociente entre el número de casos favorables y el número total de casos posibles.

Probabilidad condicionada e independencia

Probabilidad condicionada: la probabilidad de que ocurra un evento A dado que ha ocurrido otro evento B, se denota P(A|B).

Independencia: dos sucesos A y B son independientes si P(A|B) = P(A) (equivalentemente P(B|A) = P(B)), es decir, el conocimiento de que uno ocurre no cambia la probabilidad del otro.

Partición del espacio muestral

Una partición del espacio muestral es una colección de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos cuya unión es el espacio muestral completo. Estas particiones son útiles para calcular probabilidades compuestas.

Teorema de la probabilidad total

Sea A un suceso cualquiera y B₁, B₂, ..., B_n una partición del espacio muestral. Entonces:

P(A) = Σ_i=1ⁿ P(A | B_i) · P(B_i).

Regla de Bayes

Si B₁, ..., B_n es una partición del espacio muestral y A un suceso con P(A) > 0, entonces la probabilidad posterior de B_i dado A viene dada por:

P(B_i | A) = P(A | B_i) · P(B_i) / P(A),

donde P(A) se puede calcular mediante el teorema de la probabilidad total.

Referencias rápidas (términos clave)

• Población — conjunto total de interés.
• Muestra — subconjunto observado (tamaño n).
• Variable — característica medida (cualitativa o cuantitativa).
• Frecuencias — absoluta, relativa y acumuladas.
• Medidas de localización — media, mediana, percentiles.
• Medidas de dispersión — rango, varianza, desviación estándar.
• Relación entre variables — diagrama de dispersión, covarianza, correlación y regresión (mínimos cuadrados).
• Probabilidad — enfoques frecuentista y axiomático; reglas fundamentales: Laplace, probabilidad condicionada, teorema de la probabilidad total y Bayes.