Estadística de Carteras y Gestión de Riesgos Financieros

1.1 Estadística de Carteras

Una cartera de valores es una combinación de activos financieros.

• Ponderaciones: La ponderación de la acción i en la cartera, indicada con X_i, es la proporción de la acción i en la cartera.
• Media: Suma de los valores dividida por el número de observaciones.
• Media ponderada: Suma de los productos de factores de ponderación por valores, dividida por la suma de los factores de ponderación.
• Mediana: Valor que ocupa la posición central de un conjunto de valores una vez ordenados.
• Moda: Es el valor que más se repite en el conjunto de datos.
• Varianza: Es el cuadrado de la desviación típica (fórmula de la varianza).
• Desviación típica: Representada por la letra griega sigma (σ).
• Coeficiente de variación: Medida de dispersión relativa.

Covarianza y Correlación

i. Covarianza: Se aplica y es más significativo en carteras; mide el grado de relación entre dos varianzas y se designa como R_xy = σ_xy. Depende de la unidad de medida.

j. Coeficiente de correlación: Mide el grado de correlación entre dos variables. Es un indicador adimensional (no tiene dimensiones) y se designa con la letra griega rho (ρ).

Su valor está comprendido entre -1 < ρ < 1. Donde P_xy es el coeficiente de correlación entre la variable x y la variable y.

Distribución de Probabilidad

k. Curva normal o distribución normal: (Referencia: imagen del libro).

1.2 Hipótesis de Harry Markowitz

La diversificación es la estrategia que reduce el riesgo. Bajo esta teoría, la hipótesis principal es que el riesgo = variabilidad de rentabilidades.

1. Los inversores prefieren carteras con riesgo mínimo para una rentabilidad determinada.
2. Los inversores prefieren carteras con rentabilidad máxima para un riesgo determinado. Beta (β) representa el riesgo de mercado.

1.3 Rentabilidad y Riesgo de un Título

Definiciones de variables:

• R: Rentabilidad esperada.
• P_i: Probabilidad de que ocurra el estado i de la economía.
• R_i: Rentabilidad del título en el estado i.
• n: Número de estados de la economía.

Fórmulas:

• Rentabilidad esperada (R): Sumatorio de P_i * R_i.
• Varianza (σ²): Sumatorio de P_i(R_i - R)².
• Desviación típica (σ): Raíz cuadrada de la varianza.

Ejemplo Práctico

Tres estados de la economía: recesión, normal y expansión.

Resultados:

• Rentabilidad esperada: 10%
• Varianza: 0,001250
• Desviación típica: 0,0354 (3,54%)

1.4 Rentabilidad y Riesgo de una Cartera

Cartera con 2 títulos

Rentabilidad esperada (R): X₁R₁ + X₂R₂

• X₁, X₂: Proporciones de los títulos 1 y 2 en la cartera.
• R₁, R₂: Rentabilidades esperadas de los títulos 1 y 2.

Varianza de la cartera (σ_p²): X₁²σ₁² + X₂²σ₂² + 2X₁X₂(ρ₁₂ * σ₁σ₂)

• σ₁, σ₂: Desviaciones típicas de los títulos 1 y 2.
• ρ (rho): Coeficiente de correlación.

La varianza depende de las proporciones de los títulos, de sus desviaciones típicas y de la covarianza entre ellos.

Ejemplo de Cartera A y B

• Proporción título A: 25%
• Proporción título B: 75%
• Desviación típica A: 30%
• Desviación típica B: 10%
• Coeficiente de correlación: 0,8

Cálculos:

Varianza = (0,25)²(0,30)² + (0,75)²(0,10)² + 2(0,25)(0,75)(0,8 * 0,30 * 0,10) = 0,02025

Desviación típica = √0,02025 = 0,1423 (14,23%)

Matriz de Varianza-Covarianza (2 títulos)

• Número de varianzas = 2
• Número de covarianzas = 2
• La matriz es simétrica: X_iX_jσ_ij = X_jX_iσ_ji
• Número total de elementos de la matriz = n * n = n²
• Las varianzas forman parte de la diagonal principal (su número es n).
• Las covarianzas están fuera de la diagonal principal (su número es n² - n).

Conclusión: A medida que aumenta el número de títulos de la cartera, el número de covarianzas aumenta en mayor proporción que el número de varianzas. Por lo tanto, la incidencia de la covarianza en el riesgo de la cartera es mucho mayor, siendo el factor fundamental del riesgo en una cartera diversificada.