Estadística Bidimensional: Conceptos Fundamentales y Cálculo Práctico

Designación de Datos y Frecuencias

Designación de los datos estadísticos

En un estudio estadístico bidimensional, los datos se recogen por parejas, ya que se estudian 2 características, y los signos escritos que se utilizan para referirse a cada pareja son x_i, y_i.

Frecuencia absoluta

La frecuencia absoluta de una pareja es el número de veces que se repite.

Designación de las frecuencias absolutas

El signo escrito que se utiliza para referirse a la frecuencia absoluta de la pareja x_i, y_i es f_i.

Medidas de Relación Lineal

Covarianza

Se designa por σ_xy y se define por la siguiente fórmula:

σ_xy =

Coeficiente de correlación lineal

Se designa por r y se define por la siguiente fórmula en la que σ_x es la desviación típica de los datos designados por x_i y σ_y la de los datos designados por y_i:

r =

Es un número mayor o igual que -1 y menor o igual que 1: -1 ≤ r ≤ 1.

Si es positivo, la correlación lineal es directa, es decir, al ir aumentando x_i va aumentando y_i, y si es negativo, la correlación lineal es inversa, es decir, al ir aumentando x_i va disminuyendo y_i. La correlación lineal es más fuerte cuanto más cerca esté de -1 o de 1 y más débil cuanto más cerca esté de 0.

Cálculo de la covarianza en la práctica

En la práctica, la covarianza se calcula por la siguiente fórmula con la que se obtiene el mismo valor que con la fórmula que la define pero que requiere cálculos más simples:

σ_xy =

Ejemplo Práctico: Notas de Matemáticas y Física

Organización de los cálculos

Para la realización de los cálculos, se procede como en el ejemplo siguiente:

Ejemplo: Las notas de 12 estudiantes de Matemáticas y en Física son las siguientes:

Calcula el coeficiente de correlación lineal e interprétalo. Como en este ejercicio la frecuencia absoluta de cada pareja se determina fácilmente, se construye directamente una tabla con los datos necesarios para hacer los cálculos:

Los números que figuran en la última fila son la suma de todos los números de la columna correspondiente.

Resultados de los cálculos

A continuación, se calcula la media, la varianza y la desviación típica de los datos x_i, la media, la varianza y la desviación típica de los datos y_i, la covarianza y el coeficiente de correlación lineal:

Varianza de x: (σ_x)² =

Desviación típica de x: σ_x = √6 = 2,45

Varianza de y: (σ_Y)² =

Desviación típica de y: σ_Y = √6,6667 = 2,58

Covarianza: σ_xy =

Y, por último, se interpreta r: La correlación lineal es directa y fuerte.

Rectas de Regresión Lineal

Concepto

Cuando la correlación lineal es fuerte, se puede hacer una estimación del valor de y_i a partir del valor x_i o del valor de x_i a partir del valor de y_i. Para lo primero se utiliza la "recta de regresión de y sobre x" y para lo segundo la "recta de regresión de x sobre y".

Ecuaciones de las rectas de regresión

La ecuación de la recta de regresión de y sobre x es la siguiente:

Y la de la recta de regresión de x sobre y, la siguiente:

Aplicación al ejemplo

Como la correlación lineal entre las notas de Matemáticas y las de Física del ejemplo es fuerte (r = 0,94), se puede hacer una estimación de la nota de Física de un alumno que tenga un 9 en Matemáticas y de la nota de Matemáticas de un alumno que tenga un 5 en Física:

Estimación de nota de Física

Para lo primero se utiliza la recta de regresión de la nota de Física (y_i) sobre la nota de Matemáticas (x_i), es decir, la recta de regresión de y sobre x, sustituyendo la letra x por la nota de Matemáticas:

La nota estimada de Física es: 7,96.

Estimación de nota de Matemáticas

Y para lo segundo, la recta de regresión de la nota de Matemáticas (x_i) sobre la nota de Física (y_i), es decir, la recta de regresión de x sobre y, sustituyendo la letra y por la nota de Física:

La nota estimada de Matemáticas es: 6.