Estabilidad de Sistemas: Criterio de Routh y Casos Especiales en Polinomios

Casos Particulares en el Criterio de Routh

Al aplicar el método descrito, se pueden presentar dos casos particulares:

Caso 1: Un Cero en la Primera Columna

Cuando un término de la primera columna, en cualquier fila, es cero y los demás elementos de esa fila no lo son, se procede de la siguiente manera:

1. Sustituimos el cero por un número positivo muy pequeño, denotado como ε (épsilon).
2. Si los signos de los coeficientes que se encuentran por encima y por debajo del cero son del mismo signo, esto indica la presencia de dos raíces imaginarias conjugadas.
3. Si los coeficientes que se encuentran por encima y por debajo del cero son de distinto signo, esto indica un cambio de signo en la primera columna del sistema, lo que implica raíces en el semiplano derecho.

Caso 2: Una Fila Completa de Ceros

Si todos los coeficientes de una fila son cero, se forma un polinomio auxiliar con los coeficientes de la fila inmediatamente superior a la fila de ceros. Este polinomio se deriva, y los coeficientes resultantes se utilizan para reemplazar la fila de ceros.

El procedimiento detallado es el siguiente:

1. Se forma una ecuación auxiliar (P_aux(s)) con los coeficientes de la fila precedente a la fila de ceros. Esta ecuación será un polinomio del mismo grado que el indicado por el exponente de la fila tomada, y solo contendrá potencias pares o impares, según el grado de la fila sea par o impar.
2. Se deriva la ecuación auxiliar (dP_aux(s)/ds). Los coeficientes de esta derivada se utilizan para sustituir la fila de ceros, y se completa la distribución de Routh.
3. Las raíces de la ecuación auxiliar son también raíces de la ecuación original, y suelen ser raíces simétricas (pares de raíces reales y opuestas, o pares de raíces imaginarias conjugadas).

Ejemplo Práctico: Determinación de Raíces

Para determinar el número de raíces con parte real positiva del siguiente polinomio, aplicaremos el Criterio de Routh:

P(s) = s⁵ + s⁴ + 4s³ + 24s² + 3s + 63

Al construir la tabla de Routh, se observa una fila de ceros que impide completar la distribución.

Procedemos a formar una ecuación auxiliar (U(s)) con los coeficientes de la fila inmediatamente superior a la fila de ceros (la fila correspondiente a s²). Dado que es de grado dos (par), la ecuación auxiliar tendrá ese grado y solo contendrá potencias pares:

U(s) = 21s² + 63

Derivando la ecuación auxiliar, obtenemos:

dU(s)/ds = 42s + 0

Los coeficientes de esta derivada (42 y 0) se utilizan para reemplazar la fila de ceros en la tabla de Routh, permitiendo así completar la distribución.

Una vez completada la tabla, se observa que hay dos cambios de signo en la primera columna (por ejemplo, de 1 a -20 y de -20 a 21). Esto indica la presencia de dos raíces con parte real positiva. Adicionalmente, las raíces de la ecuación auxiliar (U(s) = 21s² + 63 = 0) son s = ±j√3, lo que significa que hay dos raíces con parte real cero (imaginarias puras).

Por lo tanto, el sistema es inestable.

Ejemplo: Estabilidad de un Sistema con Parámetro K

Consideremos una función de transferencia cuyo denominador no está expresado inicialmente en forma de polinomio, y que incluye un parámetro K:

El parámetro K es un valor ajustable que puede ser positivo o negativo, y que influye directamente en la ubicación de los polos del sistema y, consecuentemente, en su estabilidad.

Para determinar el rango de variación de este parámetro que asegura la estabilidad del sistema, aplicamos el Criterio de Routh al denominador de la función de transferencia:

P(s) = s(s² + 2s + 4) + K = 0

Realizando las operaciones y ordenando el polinomio, obtenemos:

P(s) = s³ + 2s² + 4s + K = 0

Según la condición necesaria del Criterio de Routh, todos los coeficientes del polinomio deben ser positivos para que el sistema sea estable. Por lo tanto, un primer límite para K es que debe ser mayor que cero (K > 0).

La construcción de la tabla de Routh permite evaluar las restricciones adicionales sobre K:

• El término de la fila s¹, que es (8 - K) / 2, debe ser mayor que cero para evitar cambios de signo en la primera columna. Esto implica que (8 - K) / 2 > 0, lo que a su vez significa 8 - K > 0, y por lo tanto, K < 8.
• El término de la fila s⁰, que es K, también debe ser mayor que cero (K > 0).

Combinando todas las restricciones, el margen de valores de K que hacen al sistema estable es:

0 < K < 8