Estabilidad de Sistemas de Control: Criterio de Routh-Hurwitz y Tabulación para Diseño Robusto

Estabilidad de un Sistema de Control

Estabilidad de Entrada Acotada y Salida Acotada (BIBO)

Con condiciones iniciales iguales a cero, se dice que un sistema es estable de entrada acotada y salida acotada (BIBO), o simplemente estable, si su salida es acotada cuando su entrada es acotada.

Para que un sistema sea estable, las raíces de la ecuación característica o los polos de G(s) no pueden estar en el semiplano derecho ni sobre el eje imaginario jω.

Si el sistema posee raíces simples sobre el eje imaginario jω y ninguna en el semiplano derecho, se dice que es marginalmente estable.

Una excepción a la regla ocurre si se coloca un integrador o un sistema de control de velocidad: el sistema tendrá una raíz en s = 0 y, en este contexto, se considera estable. De manera similar, si el sistema es diseñado como un oscilador, tendrá raíces simples sobre el eje imaginario jω y también sería considerado estable.

Si el polo en s = 0 se colocó a propósito (por ejemplo, se agregó un integrador o un control de velocidad), se lo considera estable; en caso contrario, es inestable.

Criterio de Routh-Hurwitz para la Estabilidad

Este criterio es un método algebraico que proporciona información sobre la estabilidad absoluta de un sistema lineal e invariante en el tiempo con una ecuación característica de coeficientes constantes. El criterio prueba si alguna de las raíces está en el semiplano s derecho y también indica el número de raíces que se encuentran sobre el eje imaginario jω y en el semiplano derecho.

Para que la ecuación no tenga raíces con partes reales positivas, es necesario y suficiente que se cumplan las siguientes condiciones:

• Todos los coeficientes de la ecuación tengan el mismo signo.
• Ninguno de los coeficientes sea igual a cero.

Tabulación de Routh: Construcción y Interpretación

Se conoce como arreglo o tabulación de Routh. Una vez completado el arreglo, hay que comparar los cambios de signo de la primera columna. Si todas las raíces están en el semiplano izquierdo, todos los elementos de la primera columna son del mismo signo. El número de cambios de signo en la primera columna es igual al número de raíces localizadas en el semiplano derecho.

Casos Especiales en la Tabulación de Routh

Existen dos casos especiales cuando la tabulación de Routh termina abruptamente:

1. El primer elemento de un renglón (fila) de la tabulación de Routh es cero, pero los otros no lo son.
2. Todos los elementos de un renglón (fila) son cero.

En el primer caso, si el primer elemento de un renglón es igual a cero, pero los otros no lo son, el siguiente elemento del siguiente renglón será infinito, imposibilitando que la tabulación de Routh continúe. Para remediar esta situación, se reemplaza el cero por un valor muy pequeño positivo denominado ε (épsilon) y luego se continúa con la tabulación de Routh.

En el caso de que todos los elementos de un renglón sean iguales a cero, antes de que la tabulación termine abruptamente, indica que una o más de las siguientes condiciones existen:

• La ecuación tiene al menos un par de raíces reales de igual magnitud y signos opuestos.
• La ecuación tiene uno o más pares de raíces imaginarias puras.
• La ecuación tiene al menos un par de raíces complejas conjugadas que son simétricas con respecto al origen del plano complejo.