Espais Vectorials: Operacions, Dependència, Bases i Matrius

Espais Vectorials i Àlgebra Lineal

Direm que una operació és interna quan, en operar dos elements d'un conjunt, el resultat pertany al mateix conjunt.

Direm que una operació és externa quan, en operar un element que no és del conjunt amb un altre que sí que ho és, el resultat pertany al conjunt.

Estructura d'Espai Vectorial

Un espai vectorial és una estructura matemàtica formada per un conjunt i dues operacions: una interna (+) i una externa (·). Amb l'operació interna, verifica les següents propietats:

• Associativa: u + (v + w) = (u + v) + w
• Element neutre: u + e = u
• Element oposat: u + u' = e
• Commutativa: u + v = v + u

Amb l'operació externa, verifica:

• Distributiva: (falta especificar)
• Distributiva 2: (falta especificar)
• Associativa: (falta especificar)
• Neutre: 1 · u = u

Dependència i Independència Lineal

Direm que un conjunt de vectors (u1, u2, ..., un) és linealment independent si l'única solució de l'equació L1u1 + L2u2 + ... + LnUn = 0 és que L1 = L2 = ... = Ln = 0 (on L representa lambda).

Exemples:

• (1, 2, 3) i (2, 4, 6) són linealment dependents (l.d.).
• Un conjunt que conté només el vector zero (0) és sempre linealment dependent (l.d.).
• Sempre que hi hagi més vectors que components, són linealment dependents (l.d.).

Linealment independent (l.i.): Si tenim una combinació lineal nul·la on l'única solució és que L = 0.

Sistema de Generadors

Un sistema de generadors és un conjunt de vectors en què qualsevol vector es pot expressar en funció d'ells.

Direm que U1, U2, ..., Un és un sistema de generadors de E si qualsevol vector de E es pot expressar en funció d'ells.

Exemple: (1, 2) i (2, 4) no són generadors perquè tenen la mateixa direcció; són linealment dependents (l.d.).

Bases d'un Espai Vectorial

En un pla, només hi poden haver dues bases.

La base d'un espai vectorial és un conjunt de vectors generadors i linealment independents (l.i.).

Exemple: (1, 2) i (3, 2) són linealment independents (l.i.) i generadors perquè tenen diferent direcció.

Dimensió d'un Espai Vectorial

La dimensió d'un espai vectorial és el nombre de vectors que té una base.

Hi ha moltes bases a cada dimensió. Els vectors han de ser linealment independents (l.i.) i generadors.

Subespai Vectorial

Donat un espai vectorial E i un conjunt V de E, direm que V és un subespai de E si:

1. Si al sumar dos elements de V, el resultat pertany a V (ho verifica).
2. Al multiplicar un element de V per un número real, el resultat pertany a V (operació externa).

Matrius i Determinants

Matrius

Les matrius són una pila de números col·locats en files i columnes.

Determinants

Donada una matriu quadrada A, parlem del determinant de A.

• És un número.
• És una invenció xinesa.

Donada una matriu A, anomenem menor complementari Aij al determinant que queda en treure la fila i' i la columna j'.

Propietats dels Determinants

1. Un determinant amb dues columnes iguals o proporcionals val 0.
2. Un determinant amb una columna de 0 val 0.
3. Si permutem dues columnes entre si, el determinant canvia de signe.
4. Si multipliquem una columna per un número, el determinant queda multiplicat pel número.
5. Si sumem a una columna una combinació lineal de les altres, el determinant no varia.
6. Un conjunt de vectors són linealment independents (l.i.) si el determinant és diferent de 0.
7. Els determinants d'una matriu i el de la seva transposada coincideixen.

La transposada d'una matriu és la que obtenim al canviar files per columnes.

El rang d'una matriu és l'ordre del major menor diferent de 0.

Una menor d'ordre p d'una matriu A és el determinant que queda en suprimir unes files i columnes.

Matrius Equivalents

Les matrius són equivalents si l'una s'obté a partir de transformacions elementals de l'altra.

El rang d'una matriu i d'una equivalent és el mateix.

Inversa d'una Matriu A

A · A^-1 = A^-1 · A = I

Mètode clàssic:

1. Trobar la inversa de A.
2. Es busca la transposada (canviar files per columnes).
3. Adjunta de la transposada.
4. Dividim la matriu anterior pel determinant.