Erreferentzia-Sistema Azeleratuetan Dinamika eta Fluidoen Estatika

Partikularen Dinamika Erreferentzia-Sistema Azeleratu Batean

Newtonen dinamikaren legeak erreferentzia-sistema inertzialetan bakarrik aplika daitezke. Erreferentzia-sistema azeleratu (erreferentzia sistema ez-inertziala, ESeI) batetik objektu baten azelerazioa neurtzen badugu, indarra ez da gorputz horren masa bider azelerazioa izango.

ESeI errotatu gabe irristatzen duen erreferentzia-sistema azeleratua bada, hau beteko da:

$$F'^{a} = ma'^{a} = ma^{a} - mA^{a} \quad (desplazamendua)$$

• $A^{a}$ ESeI sistemak ESI sistemarekiko duen azelerazioa da.
• $a'^{a}$ ESeI sistemarekiko objektuak daukan azelerazioa da.

Indarrak Sistema Ez-Inertzialetan

ESI-etan onartu egiten dugu partikulen azelerazioak partikulek jasaten dituzten indarrengatik sortuak direla. ESeI-etan irispide berbera mantendu nahi badugu, ondokoa suposatu behar dugu:

ES aldatzean (ESeI batera), indar berri batzuk agertuko direla partikularengan:

$$F'^{a} = ma'^{a} = ma^{a} - mA^{a} = F^{a} - mA^{a}$$

• $F^{a}$ partikulak jasaten duen indar totala da, ESI batean neurtuta (beste gorputzen edo eremuen ondorioa).
• $-mA^{a}$ inertzia-indarra deiturikoa da.

ESI-etan agertzen den indar hau ez dago beste gorputzen presentziarekin erlazionatuta eta ez du Newtonen 3. legea betetzen. Indar hori erabiltzen dugu ESeI-an Newtonen bigarren legea aplikatzen jarraitu ahal izateko. Adibidez, kotxe bat galgatzean aurrera eramaten gaituena edo kurba batean kanporantz bultzatzen gaituena inertzia-indarra da.

Adibideak: Inertzia-Indarren Interpretazioa

Azter dezagun fenomeno fisiko bera, behatzaile inertzial (ESI) eta ez-inertzial (ESeI) baten ikuspegitik:

a) Tren Azeleratuaren Barruan Lanpara

Tren azeleratu baten bagoi batean, soka baten bidez, lanpara bat eskegita dago sabaitik eta soka inklinatuta dago.

1. Behatzaile Inertzialaren (ESI) Interpretazioa: Lanpararen azelerazioa $A^{a}$ da. Newtonen bigarren legearen arabera, soka okertuko da tentsioaren osagai horizontalak azelerazio hori eman diezaion.
2. Behatzaile Ez-Inertzialaren (ESeI) Interpretazioa: Lanpara ez dago azeleratuta (pausagunean dago bagoiarekiko). Newtonen bigarren legea erabiliz aztertu nahi badugu, beste indar bat ($-mA^{a}$) suposatu behar dugu, tentsioaren osagai horizontala oreka dezan. Behatzaile ez-inertzialaren ikuspegitik, inertzia-indarra da sokaren inklinazioaren eragilea.

b) Biratzen Dabilen Objektua

Objektu bat plano horizontalean birarazten duen sokaren tentsioa (pisuaren ondorioa arbuiatu da).

1. Behatzaile Inertzialaren (ESI) Interpretazioa: Blokeak higidura zirkular uniforme bat deskribatzen du plataformaren zentroaren inguruan. Ondorioz, azelerazio normala (edo zentripetoa) dauka. Newtonen bigarren legearen arabera, sokaren tentsioa da azelerazio horren arduraduna.
2. Behatzaile Ez-Inertzialaren (ESeI) Interpretazioa: Blokea ez dago azeleratuta (pausagunean dago plataformarekiko). Newtonen bigarren legea erabiltzen jarraitu nahi badugu, indar fiktizio bat (indar zentrifugoa) suposatu behar dugu sokaren tentsioa oreka dezan. Behatzaile ez-inertzialarentzat, inertzia-indarra izango da sokan tentsio eragingo duena.

Fluidoen Estatikaren Oinarrizko Ekuazioa

Fluido bat oreka estatikoan baldin badago, eta jasaten ari den indar bakarra bere pisua bada (alegia, eremu grabitatorioa), har dezagun edozein masa elementu eta hausnar dezagun jasaten dituen indarrak:

1. Elementuaren pisua.
2. Inguruko fluidoak eragiten dizkion presio-indarrak.

Elementua orekan badago, halabeharrez, indar totalak nuloa izan behar du. Plantea dezagun irudiko fluido elementuaren oreka baldintza (jasaten dituen indar guztien erresultantea nuloa izan behar da).

Indarren Analisia Elementu Zilindrikoan

Irudiko elementua zilindrikoa da, $A$ sekzioa du, eta $dz$ altuera. Beraz:

• Bolumena: $dV = Adz$
• Masa: $dm = \rho A g dz$

Presio-Indarrak

Presio-indarrak, norabide horizontalean, elkarrekin konpentsatu egiten dira. Presio-indar bertikalak, ordea, honela kalkulatzen dira:

• Goiko aurpegian (beherantz): $F_z = PA$
• Beheko aurpegian (gorantz): $F_z + dF_z = (P + dP)A$

Presio-indar netoa bi indar bertikalen arteko diferentzia da: $dF_z = dPA$ (goranzko norabidean).

Oreka Ekuazioa

Oreka-baldintza berridazten badugu, elementuaren pisua ($a$) eta presio-indar netoa ($b$) berdinak dira eta aurkakoak izan behar dira:

$$dmg = dF_z$$ $$\rho A g dz = dPA$$

Hortik ateratzen da:

$$\frac{dP}{dz} = \rho g$$

Sakonera eta Presioa

Ardatz bertikala, $z$, beherantz orientatu dugunez, $z$ koordenatuak sakonera adierazten du altueraren ordez. Hortaz, sakonera handitzen bada ($dz$ positiboa), presioa ere handitzen da ($dP$ positiboa): presioa handitu egiten da sakonerarekin.

Ekuazio hori integra daiteke, bi punturen artean ($z_0$ eta $z$ sakoneretan, $P_0$ eta $P$ presioekin):

$$\int_{P_0}^{P} dP = \int_{z_0}^{z} \rho g dz$$

Fluido Konprimaezina

Fluido konprimaezin batean ($\rho = \text{kte}$), integrala berehalakoa da:

$$P - P_0 = \rho g (z - z_0)$$

Ekuazio horri fluidoen estatikaren oinarrizko ekuazio deritzo, eta bi puntu jakinen arteko presio-diferentzia adierazten du.

Esaterako, fluidoaren gainazala airean irekita badago, gainazaleko edozein puntuk presio atmosferikoa ($P_{atm}$) daukalako hartzen dugu erreferentziatzat ($z_0=0$ eta $P_0=P_{atm}$):

$$P = P_{atm} + \rho g z$$

Adibidea: Ur azpian Presioa

Ur azpian, 10 metroko sakoneran, zenbat balio du presioak? ($\rho_{ur} \approx 1000 \text{ kg/m}^3$, $P_{atm} \approx 1.013 \times 10^5 \text{ Pa}$)

$$P = 1.013 \times 10^5 \text{ Pa} + (1000 \text{ kg/m}^3 \times 9.8 \text{ m/s}^2 \times 10 \text{ m})$$ $$P = 1.013 \times 10^5 \text{ Pa} + 0.98 \times 10^5 \text{ Pa} \approx 1.993 \times 10^5 \text{ Pa} \approx 2 \times 10^5 \text{ Pa}$$

Gutxi gorabehera, gainazaleko presioaren bikoitza.