Entendiendo el Potencial de Mareas y su Impacto en la Geodesia

Introducción

Una cantidad determinada de Z no es accesible mediante una medida directa, sino que ha de obtenerse indirectamente mediante una ecuación de tipo: t = t(xi, cj), donde i = 1, 2, ..n y j = 1, 2, ..n. Utilizamos t, ya que estamos desarrollando el ejercicio con el ejemplo de la raíz, pero podría utilizar cualquier variable.

Determinación del Valor de t

Determinamos el valor de t, conocidos los errores en la determinación de las variables xi de los parámetros cj. Para ello, se utiliza la expresión de la propagación lineal de los errores:

• dt = Σ(dt/dxi) + Σ(dt/dcj)

POTENCIAL DE MAREAS

El potencial de mareas se expresa como:

• ψ ≈ G.(C/R)²(cos2θ + 1/3);
• G = 3/4KM. r²/c³

Este potencial explica entre el 90-95% del potencial total de mareas. Para estudiar este fenómeno, lo vamos a hacer desde el punto de vista del potencial de mareas. Para ello, nos situamos sobre un punto P y consideramos la luna y el sol como dos puntos. Por tanto, en la expresión del potencial de mareas podemos distinguir las siguientes variables:

• k: constante de gravitación
• M: masa de la Tierra
• R: distancia entre el centro de la Tierra y el astro
• r: punto
• θ: ángulo que forma la visual al astro y el punto

Algunas variables de potencial varían con el tiempo, como es el caso de R y θ. La expresión del enunciado es una forma más reducida del potencial de mareas. Uno de los motivos por los que se escribe así es porque C/R es casi la unidad y entonces quedaría una constante por algo que varía con el tiempo (parte constante y parte variable), donde C es la distancia media astro-Tierra y G es la constante de Doodson (fórmula).

Potencial Lunasolar

Al haber dos astros (luna y sol), debemos obtener el potencial lunasolar:

• ΨLS = GL(CL/RL)²(cos2θL + 1/3) + GS(CS/RS)²(cos2θS + 1/3);

Para saber la componente radial de am, derivamos el potencial con respecto a r:

• amt = ∂ψ/∂r = 2G.1/r.(C/R)³(cos2θ + 1/3)

Para saber la componente tangencial de am, derivamos el potencial con respecto a θ y multiplicamos por 1/r:

• amθ = 1/r.∂ψ/∂θ = 2G.1/r(C/R)³(sen2θ)

Efectos del Potencial de Mareas

Estas aceleraciones son para un astro, es decir, deberíamos sumar las aceleraciones del sol y la luna. Uno de los efectos de este potencial es que provoca deformaciones en la parte sólida de la Tierra. Esto es muy importante en geodesia. Estas deformaciones también se conocen como mareas terrestres, donde vemos cómo la Tierra se aplasta de forma perpendicular al astro y se alarga en dirección a la luna. Esta deformación es global, es decir, no es local, por lo que es imposible observarla.

COSTE-TOMBERG

Se basa en el hecho de colgar un balancín de un muelle, de manera que pueda pivotar respecto a un punto. Cuando el balancín está estático:

• Mf = Mp donde:
• Mf = K(l - lo).senab;
• Mp = m.g.cosθa (igualamos fórmulas)

Relacionando unas variables con otras de manera que no haya ángulos, obtenemos:

• g = K/M. c.b/a. l - lo/l;

Para calcular la sensibilidad, derivamos la gravedad respecto a l y hacemos la inversa, obtenemos:

• s: dl/dg = M/K. a/c.b. l²/lo

Por lo que deducimos que mientras más pequeño sea lo, menos longitud tendrá el muelle de longitud cero. Con l y K muy pequeñas, hacemos al instrumento muy preciso, llegando hasta precisiones de 0,01 mGal.

Errores de Medición

El error se expresa como:

• dg = dl/s -> g = ∆l/s;
• dg = dg/d∆l + dg/ds;

Reemplazando diferenciales por errores:

• εg/g = 1/s / Δl/s εΔl + Δl/s² / ∆l/s εs;
• εrg = εrΔl + εrs