Entendiendo Funciones Matemáticas: Dominio, Tipos y Representación

Funciones Matemáticas: Una Introducción

Una función es una relación entre dos variables. La primera es la variable independiente, que denominamos 'x', y la segunda es la variable dependiente, 'y'. Se cumple cuando a cada valor de la variable independiente le corresponde un único valor de la variable dependiente.

Formas de Representar una Función

1. Forma de tabla: Se colocan los valores de la variable 'x' en una fila o columna de una tabla y los valores correspondientes de 'y' en la contigua.
2. Forma gráfica: Se representa la función en ejes cartesianos.
3. Forma analítica: Se relacionan las variables mediante una fórmula.

Dominio e Imagen de una Función

Dominio: Es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente 'x'.

Imagen: Es el conjunto de valores que toma la variable dependiente 'y'.

Cálculo del Dominio de Forma Analítica

Para calcular el dominio de una función de forma analítica, debemos considerar las siguientes restricciones:

1. Restricciones del enunciado: El problema puede restringir el dominio. Por ejemplo, si x = longitud de un lado, el dominio sería (0, +∞).
2. Puntos problemáticos: Son aquellos que impiden realizar alguna operación matemática:
   • Números que anulan los denominadores.
   • Números que hacen el radicando de una raíz de índice par negativo.
   • Números que hacen el argumento de un logaritmo negativo o cero.

Cálculo del Dominio en Casos Específicos

1. Si tenemos una función con una raíz de índice par en el numerador y un polinomio en el denominador, se calcula el dominio de la raíz y se eliminan los valores que anulan el denominador.
2. Si tenemos el cociente de dos raíces pares, se calculan los dominios de cada raíz y se intersectan ambos dominios.
3. Si hay una raíz de índice par cuyo radicando es un cociente, se calcula dónde el cociente es positivo o cero, asegurando que el denominador no se anule.

Tipos de Funciones

Función Lineal

La función lineal se define mediante un polinomio de grado 0 o 1. Su expresión es: y = mx + n, donde 'm' es la pendiente y 'n' es la ordenada al origen. El dominio de estas funciones son todos los números reales. Se representan mediante rectas.

• Función constante: Pendiente = 0, representada por una recta horizontal.
• Función de proporcionalidad directa: La ordenada al origen es 0, representada por una recta que pasa por el origen de coordenadas.

Interpolación Lineal

Consiste en calcular la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, llamada función de interpolación, y luego sustituir los valores deseados. Si los valores están fuera del intervalo, se realiza una extrapolación, que solo es válida si el valor está cerca del intervalo dado.

Función Cuadrática

La función cuadrática se define mediante un polinomio de grado 2. Su expresión es: y = ax² + bx + c. Su dominio son todos los reales. Se representa mediante parábolas, siguiendo estos pasos:

1. Se analiza el coeficiente del término de mayor grado: si es positivo (a > 0), la parábola abre hacia arriba; si es negativo (a < 0), abre hacia abajo.
2. Se calculan las coordenadas del vértice: Xv = -b / 2a, Yv = aXv² + bXv + c.
3. Se determinan los cortes con los ejes.
4. Si no se tienen suficientes puntos, se calculan valores adicionales.

Interpolación Cuadrática

Se calcula sustituyendo los valores en la expresión general de la función. Esto genera un sistema lineal de 3 ecuaciones que se resuelve por el método de Gauss.

Método de Gauss

El método de Gauss transforma un sistema lineal en un sistema escalonado, donde cada ecuación tiene al menos una incógnita menos que la anterior, facilitando su resolución.

Tipos de Sistemas de Ecuaciones

• Sistema Incompatible: Al resolver el sistema, aparece una expresión de la forma 0x + 0y + 0z = b, donde b ≠ 0.
• Sistema Compatible Indeterminado: Al resolver el sistema, aparece una ecuación de la forma 0x + 0y + 0z = 0.

Funciones Racionales

Las funciones racionales se definen como el cociente de dos polinomios: f(x) = p(x) / q(x). El dominio son todos los reales, excepto los números que anulan el polinomio del denominador. Las funciones racionales de grado 1 se representan como hipérbolas con asíntotas paralelas a los ejes. Las funciones con un polinomio de grado 0 en el numerador se llaman funciones de proporcionalidad inversa.

Representación de Funciones Racionales

Para funciones de primer grado, primero se divide el numerador entre el denominador. El cociente resultante será la asíntota horizontal (AH). La asíntota vertical (AV) se obtiene del valor que anula el denominador. Para determinar los cuadrantes, se comparan los signos del cociente y del denominador: si son iguales, la hipérbola se encuentra en el 1er y 3er cuadrante; si son distintos, en el 2do y 4to cuadrante.