Energía y Velocidad Orbital de Satélites

Indique razonadamente la relación que existe entre las energías cinética y potencial gravitatoria de un satélite que gira en una órbita circular en torno a un planeta.

Si queremos colocar un satélite en una órbita circular, debemos:

✓ Subirlo a la altura adecuada (debe estar fuera de la atmósfera).

✓ Darle la velocidad adecuada.

Llamaremos velocidad orbital a esta velocidad que debe llevar el satélite para mantenerse en una órbita circular.

Sobre el satélite sólo existe la fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra, y esa tiene que ser la fuerza centrípeta del movimiento circular, por lo que tendremos que:

Fg = Fc ⟹  G (MTm) / (Ro)*2 = m (vo)*2/ Ro     ⇒   G (MT) / (Ro) = (vo)*2

(DESPEJA vo)  vo = (Raíz TODO) G (MT) / (RT+ h) 

Por lo tanto, la energía cinética del satélite en órbita es:

EC = (½)m(vo)*2= (½)mGMT / Ro

Y la energía potencial del satélite en órbita es:    EP =−G (MTm)/Ro 

Por lo que la relación entre ellas es: 

EC /EP = -½

Dos satélites idénticos se encuentran en órbitas circulares de distinto radio alrededor de la Tierra. Razone las respuestas a las siguientes preguntas:

A) ¿Cuál de ellos tiene mayor velocidad, el de la órbita de mayor o de menor radio?

B) ¿Cuál de los dos tiene mayor energía mecánica?

a) Tenemos que la fuerza gravitatoria que obliga al satélite a orbitar alrededor de la Tierra (la fuerza gravitatoria) es la fuerza centrípeta de este movimiento. Po lo tanto:

Fg = Fc ⟹  G (MTm) / (Ro)*2 = m (vo)*2/ Ro     ⇒   G (MT) / (Ro) = (vo)*2

(despeja vo)

La velocidad orbital será mayor en aquel satélite que orbite con un radio orbital menor.

b) Para calcular la energía mecánica del satélite tenemos en cuenta que la energía mecánica será suma de su energía potencial y cinética; en la expresión de la energía cinética sustituiremos la expresión que acabamos de obtener para la velocidad orbital, y tendremos que:

EM =−G (MTm)/Ro  + (½)m(vo)*2  = −G (MTm)/Ro  + (½)(mGMT)/Ro  = 

 (-2GMTm)/2Ro  + G (MTm)/2Ro    =  (-GMTm)/2Ro 

A la vista de esta expresión concluimos que la energía mecánica es menor en aquel satélite que orbite con un radio orbital menor. (En valor absoluto, el valor de la energía mecánica aumenta, pues dividimos entre un número menor; pero al tener signo negativo, la energía mecánica

disminuye al disminuir el radio orbital).

Defina y deduzca la velocidad de escape para un cuerpo que está sobre la superficie de la Tierra. /Defina velocidad de escape y deduzca razonadamente su expresión. / Haciendo uso de consideraciones energéticas, deduzca la expresión de la velocidad mínima que habría que imprimirle a un objeto de masa m, situado en la superficie de un planeta de masa M y radio R, para que saliera de la influencia del campo gravitatorio del planeta.

Se llama velocidad de escape desde la superficie de la Tierra a la mínima velocidad con que habría que lanzar el cuerpo hacia arriba, desde ese punto (la superficie de la Tierra) para que se pudiera alejar indefinidamente, esto es, para que escapara del campo gravitatorio del planeta.

Para calcular esa velocidad podemos hacer uso del principio de conservación de la energía mecánica. La velocidad de escape la podemos calcular considerando que la energía mecánica de un cuerpo en un punto determinado de la superficie (donde tendrá energía potencial gravitatoria y energía cinética) debe ser la misma que un punto infinitamente alejado (donde su energía potencial sea nula y su energía cinética sea también nula, puesto que pretendemos simplemente que no regrese a la superficie del planeta):

Em superficie = Em(∞)

−G (Mm)/R+ (½)m(ve)*2 =0      (despejar la velocidad)

Explique qué se entiende por velocidad orbital y deduzca su expresión para un satélite que describe una órbita circular alrededor de la Tierra. ¿Cuál es mayor, la velocidad orbital de un satélite de 2000 kg o la de otro de 1000 kg? Razone sus respuestas.

La fuerza gravitatoria con que la Tierra atrae al satélite es la fuerza

centrípeta del movimiento circular del satélite alrededor de la Tierra:

Fg = Fc ⟹  G (MTm) / (Ro)*2 = m (vo)*2/ Ro     ⇒   G (MT) / (Ro) = (vo)*2

(despeja vo)

Como vemos, la velocidad orbital de un satélite que orbita en una órbita circular alrededor de la Tierra depende únicamente de la masa de la Tierra MT  y del radio orbital Ro , no influyendo para nada la masa m del satélite.

Por lo tanto, los dos satélites tendrán la misma velocidad orbital (si orbitan en órbitas de igual radio).

Un satélite artificial describe una órbita circular en torno a la Tierra. ¿Cómo cambiaría su velocidad orbital si la masa de la Tierra se duplicase, manteniendo constante su radio? ¿Y su energía mecánica?

La fuerza gravitatoria con que la Tierra atrae al satélite es la fuerza centrípeta del movimiento circular del satélite alrededor de la Tierra:

Fg = Fc ⟹  G (MTm) / (Ro)*2 = m (vo)*2/ Ro     ⇒   G (MT) / (Ro) = (vo)*2

(despeja vo)

La variación en la masa de la Tierra afecta a la velocidad orbital (suponemos que no hay variación en el radio orbital del satélite, esto es, que el satélite sigue orbitando a la misma distancia de la Tierra), siendo la nueva velocidad orbital:   

G (2MT) / (Ro) = (vo)*2 (despeja vo)

En cuanto a la energía mecánica del satélite, será suma de su energía potencial y cinética; en la expresión de la energía cinética sustituiremos la expresión que hemos obtenido para la velocidad orbital, y tendremos que: 

EM =−G (MTm)/Ro  + (½)m(vo)*2  = −G (MTm)/Ro  + (½)(mGMT)/Ro  = 

 (-2GMTm)/2Ro  + G (MTm)/2Ro    =  (-GMTm)/2Ro 

La variación en la masa de la Tierra afecta a la energía mecánica (suponemos que no hay variación en el radio orbital del satélite, esto es, que el satélite sigue orbitando a la misma distancia de la Tierra), siendo la nueva energía mecánica el doble de la anterior: 

EM =(-G2MTm)/2Ro

Si la masa y el radio de la Tierra se duplican, razone si las siguientes afirmaciones son correctas: (i) El periodo orbital de la Luna se duplica; (ii) su velocidad orbital permanece constante.

La fuerza gravitatoria con que la Tierra atrae a la Luna es la fuerza

centrípeta del movimiento circular de la Luna alrededor de la Tierra:

Fg = Fc ⟹  G (MTm) / (Ro)*2 = m (vo)*2/ Ro     ⇒   G (MT) / (Ro) = (vo)*2

(despeja vo)

Como al ser una órbita circular la velocidad orbital es constante, podemos calcularla dividiendo el espacio recorrido entre el tiempo empleado en dar una vuelta:

vo = 2πRo / T          (IGUALAR CON LA DE ARRIBA) 

G (MT) / (Ro) = 4(π)*2 (Ro )*2/ (T)*2   (DESPEJAR T)

A la vista de la expresión anterior, podemos concluir:

1. La variación en el radio de la Tierra no afecta para nada a la órbita lunar (ni al periodo ni a la velocidad orbital).

2. La variación en la masa de la Tierra afecta tanto a la velocidad orbital como al periodo orbital de la Luna (suponemos que no hay variación en el radio orbital de la Luna, esto es, que la Luna sigue orbitando a la misma distancia de la Tierra), siendo la nueva velocidad orbital y el nuevo periodo orbital los siguientes:

(Raíz TODO)  G (MT)/(Ro)=(vo)   (Raíz TODO) 4(π)*2 (Ro )*3/(G2MT) =T

Por lo tanto, ninguna de las dos afirmaciones del enunciado son ciertas:

(i) El periodo orbital de la Luna no se duplica, sino que queda dividido entre (Raíz)2.

(ii) su velocidad orbital no permanece constante, sino que queda multiplicada por (Raíz) 2.

Discuta la veracidad de la siguiente afirmación: “Cuanto mayor sea la altura de la órbita de un satélite sobre la superficie terrestre, mayor es su energía mecánica y, por tanto, mayores serán tanto la energía cinética como la energía potencial del satélite”.

Si queremos colocar un satélite en una órbita circular, debemos:

✓ Subirlo a la altura adecuada (debe estar fuera de la atmósfera, para evitar que el rozamiento con el aire haga que pierda energía).

✓ Darle la velocidad adecuada para que en su movimiento de caída libre no choque con la superficie de la Tierra, esto es, para que describa una circunferencia con centro en el centro de la Tierra, de manera que la trayectoria del satélite y la superficie de la Tierra sean circunferencias concéntricas. Llamaremos velocidad orbital a esta velocidad que debe llevar el satélite para mantenerse en una órbita circular.

Si la órbita es circular, la magnitud de la velocidad es constante en toda la órbita, y tenemos que la fuerza gravitatoria que obliga al satélite a orbitar alrededor de la Tierra (la fuerza gravitatoria) es la fuerza centrípeta de este movimiento. Igualando estas expresiones obtenemos:

Fg = Fc ⟹  G (MTm) / (Ro)*2 = m (vo)*2/ Ro     ⇒   G (MT) / (Ro) = (vo)*2

(despeja vo)

La velocidad orbital no depende de la masa del satélite, aunque sí es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del radio de la órbita. Es decir, cuanto mayor sea el radio, menor será la velocidad necesaria para describir la órbita, y por lo tanto, menor será la energía cinética del

satélite en órbita. Esta parte de la afirmación es falsa.

Por otro lado, la energía potencial del satélite viene dada por:  

EP =−G (MTm)/Ro

Como el nivel cero de energía potencial lo hemos elegido en el infinito, el valor de la energía potencial es negativo.

Se tiene que es mayor la energía potencial del satélite cuanto mayor es el radio de la órbita. Esta parte de la afirmación es cierta.

En cuanto a la energía mecánica del satélite, será suma de su energía potencial y cinética; en la expresión de la energía cinética sustituiremos la expresión que hemos obtenido para la velocidad orbital, y tendremos que:

EM =−G (MTm)/Ro  + (½)m(vo)*2  = −G (MTm)/Ro  + (½)(mGMT)/Ro  = 

 (-2GMTm)/2Ro  + G (MTm)/2Ro =  (-GMTm)/2Ro

A la vista de esta expresión concluimos que la energía mecánica es mayor en aquel satélite que orbite con un radio orbital mayor. Esta parte de la afirmación es cierta.

(En valor absoluto, el valor de la energía mecánica disminuye al aumentar el radio orbital, pues dividimos entre un número mayor; pero al tener signo negativo, la energía mecánica aumenta al aumentar el radio orbital).

para que llege al infinito