Ejercicios Resueltos de Señales y Sistemas: Teoría y Aplicaciones

Compendio de Problemas de Señales y Sistemas

Análisis de Señales y Propiedades

• 1. Considera la señal periódica x(t). Prueba que dx(t) = A₁g(t-t₁) + A₂g(t-t₂).
• 2. Halla la respuesta a u(t) = ∫ e⁻⁽ᵗ⁻𝜏⁾x(𝜏-2) d𝜏.
• 3. Sea y(t) = e⁻ᵗ u(t). Demuestra que y(t) = Ae⁻ᵗ para 0 < t < 3 y determina el valor para t > 3.
• 4. ¿Tiene memoria h(t) = u(t+1) - u(t-2)?
• 5. ¿Son estables? h(t) = e⁻⁽¹⁻²ʲ⁾ᵗ u(t) y h(t) = e⁻ᵗ cos(2t)u(t).

Sistemas y Ecuaciones Diferenciales

• 6. dy(t) + 4y(t) = x(t).
• 18. RC dy/dt + y = x.
• 31. d²y(t)/dt² + 6dy(t)/dt + 8y(t) = 2x(t).
• 34. d²y(t)/dt² + 6dy(t)/dt + 10y(t) = 2x(t), halla H(ω).

Transformada de Fourier y Aplicaciones

• 7. Fourier: e⁻²⁽ᵗ⁻¹⁾ y valor absoluto.
• 8. Fourier: δ(t+1) + δ(t-1) y d(u(-2-t) + u(t-2)).
• 9. Fourier: sin(2πt + π/4) y 1 + cos(6πt + π/8).
• 10. Fourier: x(1-t) + x(-1-t) y x(3t-6).
• 11. t(sin(t)/πt)² y teorema de Parseval.
• 15. Fourier: e⁻³⁽ᵗ⁻³⁾u(t-3) / -e⁻⁴⁽ᵗ⁻¹⁾ / -6cos(2ω) / (1+cos(πt))π(t/2).
• 16. Fourier inversa: X(ω) = 5sin(3(ω-2π))/(ω-2π) / (a-jω)/(a+jω) / -δ(t) + 2ae⁻ᵃᵗ u(t).
• 22. Fourier: d(u(-t-2) + u(t-2)) / sin(2t)e⁻³ᵗ.
• 23. Fourier inverso: 8/(1+ω²) + 2 / 3sin(5(ω-2π))/(ω-2π).
• 24-25. Ecuación de síntesis de Fourier para x(ω) = 2(u(ω+3)-u(ω-3)) y x(jω) = 2.
• 29. Fourier inversa: 2sin(3(ω-2π))/(ω-2π) / cos(4ω + π/3) / 2(δ(ω+1) + 3δ(2+2π)).
• 30. Fourier: (e⁻ᵃᵗ cos(ωt))u(t) / e⁻³ᵗ sin(2t).

Energía, Potencia y Convolución

• 19. Energía y potencia de señal periódica.
• 20. Energía de δ(t+2) - δ(t-2).
• 21. Energía y potencia de: x(t) = u(t-1)-u(t-4) / 3sin(2000t-π/3) / 4e⁻²ᵗu(t).
• 40. Convolución.

Sistemas LTI y Filtros

• 13. H(ω) = 1/(jω+3), y(t) = e⁻³ᵗu(t) - e⁻⁴ᵗu(t), halla x(t).
• 14. g(t) = 1/5(10-10e⁻⁵ᵗ)u(t), ¿respuesta impulsional? ¿Causal y estable?
• 32. H(jω) = (jω+4)/(6-ω²+5jω) → ec. dif. y h(t).
• 37. 1/2(1-e⁻²ᵗ)u(t), ¿h(t)?
• 38. h(t) = sin(2t)/t, x(t) = ∑(u(t+1+4π/3k) - u(t-1+4π/3k)), ¿y(t)?