Ejercicios Resueltos de Progresiones Aritméticas: Fórmulas y Aplicaciones Prácticas

Fórmulas Fundamentales de Progresiones Aritméticas

A continuación, se presentan las fórmulas esenciales para trabajar con progresiones aritméticas, seguidas de ejercicios resueltos para su aplicación práctica.

Fórmulas Clave

• Razón (r): La diferencia común entre términos consecutivos.

  r = (An - A1) / (n - 1)

• Número de términos (n): Cantidad de elementos en la progresión.

  n = (An - A1) / r + 1

• Primer término (A1): El valor inicial de la progresión.

  A1 = An - (n - 1) * r

• Término general (An): El valor de cualquier término 'n' en la progresión.

  An = A1 + (n - 1) * r

Ejercicios Resueltos de Progresiones Aritméticas

Problema #1: Cálculo del Término General (An)

Calcula el término general (An) en una progresión aritmética donde el primer término (A1) es 5, el número de términos (n) es 10 y la razón (r) es 4.

Datos:

• An: ?
• A1: 5
• r: 4
• n: 10

Fórmula a utilizar:

An = A1 + (n - 1) * r

Resolución:

Sustituyendo los valores en la fórmula:

An = 5 + (10 - 1) * 4

An = 5 + (9) * 4

An = 5 + 36

Resultado:

An = 41

Nota: La resolución original presentaba un error en el cálculo intermedio (An:(5+9)*4 y An:14*4), llevando a un resultado incorrecto (An:56). Se ha corregido para reflejar la aplicación correcta de la fórmula.

Problema #2: Cálculo de la Razón (r)

Calcula la razón (r) de una progresión aritmética de 15 términos si el último término (An) es 28 y el primer término (A1) es 7.

Datos:

• r: ?
• An: 28
• A1: 7
• n: 15

Fórmula a utilizar:

r = (An - A1) / (n - 1)

Resolución:

Sustituyendo los valores en la fórmula:

r = (28 - 7) / (15 - 1)

r = 21 / 14

Resultado:

r = 1.5

Nota: La resolución original presentaba un error en el denominador (15 en lugar de 14). Se ha corregido para reflejar la aplicación correcta de la fórmula.

Problema #3: Cálculo del Primer Término (A1)

Calcula el primer término (A1) de una progresión si el último término (An) es 108, la razón (r) es 9 y el número de términos (n) es 11.

Datos:

• A1: ?
• An: 108
• r: 9
• n: 11

Fórmula a utilizar:

A1 = An - (n - 1) * r

Resolución:

Sustituyendo los valores en la fórmula:

A1 = 108 - (11 - 1) * 9

A1 = 108 - (10) * 9

A1 = 108 - 90

Resultado:

A1 = 18

Nota: La resolución original presentaba un error en el cálculo intermedio (A1:(98)*9 y A1:892). Se ha corregido para reflejar la aplicación correcta de la fórmula.

Problema #4: Cálculo del Primer Término (A1) con Término Intermedio

Calcula el primer término (A1) en una progresión aritmética de razón (r) 5 si el término 21 (A21) es 1910.

Datos:

• A1: ?
• A21: 1910
• r: 5
• n: 21 (implícito por A21)

Fórmula a utilizar:

Para encontrar A1 a partir de An:

A1 = An - (n - 1) * r

En este caso, n = 21, por lo que:

A1 = A21 - (21 - 1) * r

A1 = A21 - 20 * r

Resolución:

Sustituyendo los valores en la fórmula:

A1 = 1910 - 20 * 5

A1 = 1910 - 100

Resultado:

A1 = 1810

Nota: La resolución original presentaba fórmulas incorrectas al inicio (A21:A21*r, A21:A20*r, A1:A21-A20*r y A1:(1910-20)*5), aunque el resultado final era correcto. Se han corregido las fórmulas y pasos intermedios para mayor claridad.

Problema #5: Cálculo de la Razón (r) con Raíces Cuadradas

Calcula la razón (r) de una progresión aritmética de 60 términos (n) donde el último término (An) es igual a 32 raíz de 5 y el primer término (A1) es igual a 3 raíz de 5.

Datos:

• n: 60
• An: 62 (Originalmente indicado como 32√5 en el enunciado)
• A1: 3 (Originalmente indicado como 3√5 en el enunciado)
• r: ?

Nota importante: El enunciado del problema especifica que An es "32 raíz de 5" y A1 es "3 raíz de 5". Sin embargo, los datos y la resolución proporcionados en el documento original utilizan los valores numéricos 62 y 3 respectivamente. La resolución a continuación se basa en los valores numéricos 62 y 3, tal como aparecen en el documento original, para mantener la integridad del contenido. Si la intención era operar con raíces, los cálculos serían diferentes.

Fórmula a utilizar:

r = (An - A1) / (n - 1)

Resolución:

Sustituyendo los valores numéricos proporcionados en los datos:

r = (62 - 3) / (60 - 1)

r = 59 / 59

Resultado:

r = 1

Nota: La resolución original presentaba pasos de cálculo adicionales y confusos que no correspondían a los valores numéricos dados (62 y 3). Se ha simplificado y corregido para reflejar el cálculo directo con los datos numéricos presentes.