Ejercicios Resueltos de Ondas: Frecuencia, Velocidad y Fase

Problema 8: Onda Periódica y sus Parámetros

Una onda periódica viene dada por la ecuación y(t, x) = 10 sen[2π(50t – 0,2x)] en unidades del Sistema Internacional (S.I.). Calcula lo siguiente:

a) Frecuencia, Velocidad de Fase y Longitud de Onda

La ecuación general de una onda periódica es:
y(t, x) = A sen[2π(t/T − x/λ)]
Comparando con la ecuación dada:
y(t, x) = 10 sen[2π(50t – 0,2x)]

De la comparación, obtenemos:
1/T = 50 ⇒ T = 1/50 = 0,02 s
1/λ = 0,2 ⇒ λ = 1/0,2 = 5,0 m

La frecuencia es:
f = 1/T = 1/0,02 = 50 s⁻¹ = 50 Hz
La velocidad de fase (Vp) es:
Vp = λ · f = 5,0 m · 50 Hz = 250 m/s

b) Velocidad Máxima de una Partícula y Tiempos de Máxima Velocidad

La velocidad de una partícula del medio se obtiene derivando la ecuación de la onda respecto al tiempo:
v(t, x) = dy/dt = d/dt [10 sen 2π(50t – 0,2x)]
v(t, x) = 10 · (2π · 50) cos[2π(50t – 0,2x)]
v(t, x) = 1000π cos[2π(50t – 0,2x)] m/s

La velocidad máxima (Vmáx) ocurre cuando cos[2π(50t – 0,2x)] = ±1:
Vmáx = 1000π ≈ 3141,59 m/s

Para que la velocidad sea máxima, el coseno debe ser ±1, lo que significa que el argumento de la función coseno debe ser un múltiplo entero de π:
2π(50t – 0,2x) = nπ, donde n = 0, 1, 2, ...
Simplificando:
2(50t – 0,2x) = n
100t – 0,4x = n

Se pide para un punto que dista 50 cm del origen, es decir, x = 0,5 m.
Sustituyendo x = 0,5 m:
100t – 0,4(0,5) = n
100t – 0,2 = n
100t = n + 0,2
t = (0,2 + n)/100 = 0,002 + 0,01n s, donde n = 0, 1, 2, ...

Problema 13: Parámetros de Onda y Puntos en Fase

La ecuación de una onda es y(t, x) = 0,2 sen[π(100t – 0,1x)]. Calcula lo siguiente:

a) Frecuencia, Número de Onda, Velocidad de Propagación y Longitud de Onda

La ecuación general de una onda armónica es:
y(t, x) = A sen(ωt – kx)
Comparando con la ecuación dada:
y(t, x) = 0,2 sen[π(100t – 0,1x)]
y(t, x) = 0,2 sen(100πt – 0,1πx)

De la comparación, obtenemos:
Frecuencia angular (ω): ω = 100π rad/s ≈ 314,16 rad/s
Número de onda (k): k = 0,1π rad/m ≈ 0,314 rad/m

La frecuencia (f) es:
f = ω/(2π) = (100π)/(2π) = 50 Hz

La longitud de onda (λ) es:
λ = 2π/k = 2π/(0,1π) = 20 m
La velocidad de propagación (Vp) es:
Vp = λ · f = 20 m · 50 Hz = 1000 m/s

b) Puntos en Fase para un Tiempo Fijo

Dos puntos están en fase si su diferencia de fase es un múltiplo entero de 2π.
Δφ = 2πn, donde n = 0, 1, 2, ...
Para un tiempo fijo t, la diferencia de fase entre dos puntos x₁ y x₂ es:
Δφ = (100πt – 0,1πx₂) – (100πt – 0,1πx₁) = 0,1π(x₁ – x₂)
Igualando a 2πn:
0,1π(x₁ – x₂) = 2πn
0,1(x₁ – x₂) = 2n
x₁ – x₂ = 2n/0,1 = 20n

Si x₂ = 10 m, entonces los puntos x₁ que están en fase son:
x₁ = x₂ + 20n = 10 + 20n m, donde n = 0, ±1, ±2, ...

c) Tiempos en Fase para una Posición Fija

Para una posición fija x, la diferencia de fase entre dos tiempos t₁ y t₂ es:
Δφ = (100πt₂ – 0,1πx) – (100πt₁ – 0,1πx) = 100π(t₂ – t₁)
Igualando a 2πn:
100π(t₂ – t₁) = 2πn
100(t₂ – t₁) = 2n
t₂ – t₁ = 2n/100 = 0,02n

Si t₁ = 1 s, entonces los tiempos t₂ para los que la vibración está en fase son:
t₂ = t₁ + 0,02n = 1 + 0,02n s, donde n = 0, ±1, ±2, ...

Problema 14: Onda Armónica y sus Derivadas

Una onda armónica se propaga en dirección x con velocidad de propagación v = 10 m/s, amplitud A = 3 cm = 0,03 m y frecuencia f = 50 Hz. Calcula lo siguiente:

a) Ecuación de la Onda

La frecuencia angular (ω) es:
ω = 2πf = 2π · 50 = 100π rad/s ≈ 314,16 rad/s

El número de onda (k) se puede calcular como:
k = ω/v = (100π rad/s) / (10 m/s) = 10π rad/m

La ecuación de la onda armónica, asumiendo que se propaga en la dirección positiva del eje x, es:
y(t, x) = A sen(ωt – kx)
y(t, x) = 0,03 sen(100πt – 10πx) m

b) Velocidad y Aceleración Máximas de una Partícula

La velocidad de una partícula del medio se obtiene derivando la ecuación de la onda respecto al tiempo:
v(t, x) = dy/dt = d/dt [0,03 sen(100πt – 10πx)]
v(t, x) = 0,03 · (100π) cos(100πt – 10πx)
v(t, x) = 3π cos(100πt – 10πx) m/s

La velocidad máxima (Vmáx) es:
Vmáx = 3π ≈ 9,42 m/s

La aceleración de una partícula del medio se obtiene derivando la velocidad respecto al tiempo:
a(t, x) = dv/dt = d/dt [3π cos(100πt – 10πx)]
a(t, x) = 3π · (-100π) sen(100πt – 10πx)
a(t, x) = -300π² sen(100πt – 10πx) m/s²

La aceleración máxima (amáx) es:
amáx = 300π² ≈ 2960,88 m/s²

c) Puntos en Fase para un Tiempo Fijo

Dos puntos están en fase si su diferencia de fase es un múltiplo entero de 2π.
Δφ = 2πn, donde n = 0, ±1, ±2, ...
Para un tiempo fijo t, la diferencia de fase entre dos puntos x' y x es:
Δφ = (100πt – 10πx') – (100πt – 10πx) = 10π(x – x')
Igualando a 2πn:
10π(x – x') = 2πn
10(x – x') = 2n
x – x' = 2n/10 = 0,2n

Si el punto de referencia es x = 10 m, entonces los puntos x' que están en fase son:
x' = x – 0,2n = 10 – 0,2n m, donde n = 0, ±1, ±2, ...
(O, equivalentemente, x' = 10 + 0,2n m, ya que n puede ser positivo o negativo).

Problema 15: Onda Transversal y Diferencia de Fase

Una onda armónica transversal se propaga en la dirección del eje x y viene dada por la siguiente expresión (en unidades del sistema internacional): y(x,t) = 0,45 cos(2x - 3t). Determinar lo siguiente:

a) Velocidad de Propagación

La ecuación de la onda armónica transversal es:
y(x,t) = 0,45 cos(2x - 3t)
Comparándola con la forma general y(x,t) = A cos(kx - ωt), identificamos:
Amplitud (A) = 0,45 m
Número de onda (k) = 2 rad/m
Frecuencia angular (ω) = 3 rad/s

La velocidad de propagación (Vp) es:
Vp = ω/k = (3 rad/s) / (2 rad/m) = 1,5 m/s

b) Velocidad y Aceleración Máximas de Vibración

La velocidad de vibración de las partículas se obtiene derivando la ecuación de la onda respecto al tiempo:
v(x,t) = dy/dt = d/dt [0,45 cos(2x - 3t)]
v(x,t) = 0,45 · (-sen(2x - 3t)) · (-3)
v(x,t) = 1,35 sen(2x - 3t) m/s
La velocidad máxima (Vmáx) es:
Vmáx = 1,35 m/s

La aceleración de vibración de las partículas se obtiene derivando la velocidad respecto al tiempo:
a(x,t) = dv/dt = d/dt [1,35 sen(2x - 3t)]
a(x,t) = 1,35 · cos(2x - 3t) · (-3)
a(x,t) = -4,05 cos(2x - 3t) m/s²
La aceleración máxima (amáx) es:
amáx = 4,05 m/s²

c) Diferencia de Fase Temporal

La diferencia de fase (Δφ) para la misma partícula (posición x fija) entre dos tiempos t₁ y t₂ es:
Δφ = φ(x, t₂) – φ(x, t₁)
Δφ = (2x - 3t₂) – (2x - 3t₁)
Δφ = -3t₂ + 3t₁ = -3(t₂ - t₁)
Si el intervalo de tiempo transcurrido es Δt = t₂ - t₁ = 2 s:
Δφ = -3 · (2 s) = -6 rad
La magnitud de la diferencia de fase es 6 rad.