Ejercicios Resueltos de Microeconomía: Demanda, Oferta, Utilidad y Costes

Problema 1

A. Funciones de Demanda y Oferta

Funciones de Demanda y Oferta: Para determinar las funciones, cogemos 2 puntos y sustituimos en las ecuaciones generales:

• Función de Demanda (Qd): `Qd(p) = a - bp`
  • Dados los puntos, sustituimos: `34 = a - 3b` y `28 = a - 6b`.
  • Resolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemos `b = 2` y `a = 40`.
  • Por lo tanto, la función de demanda es: `Qd = 40 - 2p`.
• Función de Oferta (Qs): `Qs(p) = a + bp`
  • Sustituimos los puntos: `2 = a + 3b` y `4 = a + 6b`.
  • Resolviendo el sistema, obtenemos `b = 2/3` y `a = 0`.
  • Por lo tanto, la función de oferta es: `Qs = 2/3p`.

Equilibrio de Mercado

Para encontrar el Equilibrio de Mercado, igualamos la cantidad demandada y la cantidad ofertada (`Qd = Qs`) para obtener el precio de equilibrio (`P`). Luego, sustituimos este precio en cualquiera de las funciones (Qd o Qs) para obtener la cantidad de equilibrio (`Q`). El punto de equilibrio se representa como `E = (Q, P)`.

Importancia y Elasticidad

• Importante: Si `P = 9`, entonces `Qd(9) = x` y `Qs(9) = y`. El Exceso de Demanda (o escasez) se calcula como `NI = x - y`.
• Elasticidad: La fórmula general de la elasticidad es `E = (P/Q) * (∂Q/∂P)`.
  • Elasticidad de la Oferta (Qs): Por ejemplo, si `P=9` y `Q=6`, y `∂Qs/∂P = 2/3`, entonces `E_s = (9/6) * (2/3) = 1`. Esto indica una elasticidad unitaria.
  • Elasticidad de la Demanda (Qd): Por ejemplo, si `P=9` y `Q=22`, y `∂Qd/∂P = -2`, entonces `E_d = (9/22) * (-2) = -0.82`. El valor absoluto es `0.82 < 1`, lo que indica una demanda inelástica.
• Impacto si P aumenta un 10%: Si el precio inicial es `P=9` y aumenta un 10%, el nuevo precio es `P = 9.9`.
  • `Qd(9.9) = 40 - 2(9.9) = 40 - 19.8 = 20.2`.
  • `Qs(9.9) = (2/3)(9.9) = 6.6`.
  • El Exceso de Demanda (o escasez) es `20.2 - 6.6 = 13.6`.

B. Tasa Marginal de Sustitución (RMS)

Consideremos dos bienes: Fruta (con una utilidad marginal de 100) y Verdura (con una utilidad marginal de 50). Se asume que son bienes complementarios y transitivos.

La Relación Marginal de Sustitución (RMS) se calcula como el cociente de las utilidades marginales: `RMS = UM_Fruta / UM_Verdura = 100/50 = 2`. Esto significa que el consumidor está dispuesto a renunciar a 2 unidades del bien 2 (Verdura) a cambio de 1 unidad del bien 1 (Fruta).

Problema 2

A. Elección Óptima del Consumidor (Itsasne)

Itsasne debe elegir entre Habitación (bien 1) o Camping (bien 2).

Curvas de Indiferencia

Podemos representar las Curvas de Indiferencia con los siguientes conjuntos de puntos:

• Curva 1: (6,6), (7,4), (8,2), (5,8)
• Curva 2: (5,5), (6,3), (7,1)
• Curva 3: (7,7), (8,5), (6,9)

Relación Marginal de Sustitución (RMS)

Para la función de utilidad `U(x1, x2) = 2x1 + x2`, la RMS se calcula como el cociente de las derivadas parciales: `RMS = (∂U/∂x1) / (∂U/∂x2) = 2/1 = 2`.

Restricción Presupuestaria y Elección Óptima

Dados los datos: `M = 300`, `P1 = 30`, `P2 = 10`.

• La Restricción Presupuestaria es `P1x1 + P2x2 = M`, es decir, `30x1 + 10x2 = 300`. Simplificando, `3x1 + x2 = 30`.
• Para maximizar la utilidad `U(x1, x2) = 2x1 + x2` sujeto a la restricción presupuestaria, comparamos la RMS con la relación de precios: `RMS = 2` y `P1/P2 = 30/10 = 3`.
• Dado que `RMS < P1/P2` (`2 < 3`), el consumidor elegirá una solución de esquina, consumiendo únicamente el bien 2 (Camping), ya que le proporciona más utilidad por unidad monetaria.
• La elección óptima es `(0, M/P2) = (0, 300/10) = (0, 30)`.

Máximo de Noches (20)

Si el máximo de noches para el bien 2 (camping) es 20 (`x2 ≤ 20`):

• De la restricción presupuestaria: `x2 = 30 - 3x1`.
• Si `x2 = 20`, entonces `20 = 30 - 3x1`, lo que implica `3x1 = 10`, y `x1 = 10/3`.
• La solución óptima en este caso sería `(10/3, 20)`.

B. Restricción Presupuestaria con Precios Variables (Imanol)

Imanol tiene `M = 20€`. Bien 1: Felicidad Navidad (`P1`). Bien 2: Adornos (`P2`).

Restricción Presupuestaria

Los precios son: `P2 = 1€`. Para `P1`, el precio es `1€` si `x1 ≤ 10` y `0.5€` para las unidades adicionales si `x1 > 10`.

• Si `x1 ≤ 10`: La restricción es `1x1 + 1x2 = 20`, o `x2 = 20 - x1`.
• Si `x1 > 10`: La restricción es `1*10 + 0.5*(x1 - 10) + 1x2 = 20`. Simplificando: `10 + 0.5x1 - 5 + x2 = 20` → `5 + 0.5x1 + x2 = 20` → `x2 = 15 - 0.5x1`.

Puntos de corte con los ejes y el punto de quiebre:

• Si `x1 = 0`, `x2 = 20`.
• Si `x2 = 0` y `x1 > 10`: `15 - 0.5x1 = 0` → `0.5x1 = 15` → `x1 = 30`.
• Punto de quiebre: Si `x1 = 10`, `x2 = 20 - 10 = 10`. La cesta es `(10, 10)`.

Elección Óptima

Para la función de utilidad `U(x1, x2) = x1x2`, la Relación Marginal de Sustitución (RMS) es `x2/x1`.

• La condición de optimización es `RMS = P1/P2`.
• Si consideramos el tramo donde `P1 = 1` y `P2 = 1` (es decir, `x1 ≤ 10`), entonces `x2/x1 = 1/1`, lo que implica `x2 = x1`.
• Sustituyendo en la restricción presupuestaria `x1 + x2 = 20`: `x1 + x1 = 20` → `2x1 = 20` → `x1 = 10`.
• Entonces, `x2 = 10`.
• La elección óptima es la cesta `(10, 10)`. Este punto coincide con el punto de quiebre de la restricción presupuestaria, lo que es consistente con la maximización de utilidad.

Problema 3

A. Funciones de Demanda y Elección Óptima (U=x1x2^2)

Dada la función de utilidad `U = x1x2^2`.

Derivación de las Funciones de Demanda

La restricción presupuestaria es `P1x1 + P2x2 = M`.

• Calculamos la Relación Marginal de Sustitución (RMS): `RMS = (∂U/∂x1) / (∂U/∂x2) = x2^2 / (2x1x2) = x2 / (2x1)`.
• Igualamos `RMS` a la relación de precios: `x2 / (2x1) = P1/P2` → `x2 = (2P1/P2)x1`.
• Función de Demanda para x1: Sustituimos `x2` en la restricción presupuestaria: `P1x1 + P2((2P1/P2)x1) = M` `P1x1 + 2P1x1 = M` `3P1x1 = M` `x1* = M / (3P1)`
• Función de Demanda para x2: Sustituimos `x1*` en la expresión de `x2`: `x2* = (2P1/P2) * (M / (3P1))` `x2* = 2M / (3P2)`

Elección Óptima con M=600, P1=50, P2=100

Sustituimos los valores en las funciones de demanda:

• `x1 = 600 / (3 * 50) = 600 / 150 = 4`.
• `x2 = (2 * 600) / (3 * 100) = 1200 / 300 = 4`.

La cesta óptima es `(4, 4)`.

Puntos de corte con los ejes de la restricción presupuestaria:

• Si `x1 = 0`, `x2 = M/P2 = 600/100 = 6`.
• Si `x2 = 0`, `x1 = M/P1 = 600/50 = 12`.

Curva de Demanda

Con `M = 600`:

• Para x1: `x1* = 600 / (3P1) = 200/P1`.
  • Si `P1 = 50`, `x1 = 4`.
  • Si `P1 = 30`, `x1 = 200/30 ≈ 6.67`.
  • Si `P1 = 20`, `x1 = 200/20 = 10`.
• Para x2: `x2* = 2 * 600 / (3P2) = 400/P2`.
  • Si `P2 = 100`, `x2 = 4`.
  • Si `P2 = 60`, `x2 = 400/60 ≈ 6.67`.
  • Si `P2 = 30`, `x2 = 400/30 ≈ 13.33`.

Porcentaje de Renta Gastada

En la cesta óptima `(4, 4)` con `P1=50` y `P2=100`:

• Gasto en `x1`: `P1*x1 = 50 * 4 = 200`. Porcentaje de renta: `200/600 = 0.3333` o `33.33%`.
• Gasto en `x2`: `P2*x2 = 100 * 4 = 400`. Porcentaje de renta: `400/600 = 0.6667` o `66.67%`.
• El gasto total es `200 + 400 = 600`, que es el 100% de la renta.

B. Consumo Óptimo con Sustitutos Perfectos (Naroa)

Naroa consume Coca y Pepsi, que son sustitutos perfectos. Tiene una renta `M = 10€`. Los precios son `P_Coca = 3€` y `P_Pepsi = 2€`.

Consumo Óptimo de Cola

Para sustitutos perfectos, la Relación Marginal de Sustitución (RMS) es constante (por ejemplo, `RMS = 1` si son sustitutos 1:1).

• Comparamos la RMS con la relación de precios: `P_Coca/P_Pepsi = 3/2 = 1.5`.
• Dado que `P_Coca/P_Pepsi > RMS` (`1.5 > 1`), el consumidor dirigirá su consumo hacia el bien que le resulte relativamente más barato en términos de utilidad por euro, que es Pepsi.
• La elección óptima será consumir solo Pepsi: `x_Pepsi = M / P_Pepsi = 10/2 = 5`.
• La cesta óptima es `(x_Coca, x_Pepsi) = (0, 5)`.

Cambio en el Consumo Óptimo si P_Coca es 1€

Si el precio de Coca-Cola cambia a `P_Coca = 1€`:

• Ahora la relación de precios es `P_Coca/P_Pepsi = 1/2 = 0.5`.
• Dado que `P_Coca/P_Pepsi < RMS` (`0.5 < 1`), el consumidor dirigirá su consumo hacia Coca-Cola.
• La elección óptima será consumir solo Coca-Cola: `x_Coca = M / P_Coca = 10/1 = 10`.
• La cesta óptima es `(10, 0)`.

C. Funciones de Demanda Agregada

Consideramos dos funciones de utilidad:

• `Ua = x1x2` (para el consumidor A)
• `Ub = x1^(1/3)x2^(2/3)` (para el consumidor B)

Función de Demanda para A (Cobb-Douglas)

Para `Ua = x1x2`:

• `RMS = x2/x1`.
• Igualando `RMS = P1/P2`: `x2/x1 = P1/P2` → `x2 = (P1/P2)x1`.
• Sustituyendo en la restricción presupuestaria `P1x1 + P2x2 = I`: `P1x1 + P2((P1/P2)x1) = I` → `P1x1 + P1x1 = I` → `2P1x1 = I`.
• La función de demanda para x1 es: `x1A* = I / (2P1)`.

Función de Demanda para B (Cobb-Douglas)

Para `Ub = x1^(1/3)x2^(2/3)`:

• `RMS = (1/3)x1^(-2/3)x2^(2/3) / ((2/3)x1^(1/3)x2^(-1/3)) = (1/2) * (x2/x1)`.
• Igualando `RMS = P1/P2`: `(1/2) * (x2/x1) = P1/P2` → `x2 = (2P1/P2)x1`.
• Sustituyendo en la restricción presupuestaria `P1x1 + P2x2 = I`: `P1x1 + P2((2P1/P2)x1) = I` → `P1x1 + 2P1x1 = I` → `3P1x1 = I`.
• La función de demanda para x1 es: `x1B* = I / (3P1)`.

Curva de Demanda A si M=1000

Para `x1A* = I / (2P1)` con `I = 1000`:

• `x1A* = 1000 / (2P1) = 500/P1`.
• La primera derivada respecto a `P1` es `∂x1A*/∂P1 = -500 / P1^2 < 0`, lo que indica que la demanda es decreciente.
• La segunda derivada es `∂^2x1A*/∂P1^2 = 1000 / P1^3 > 0`, lo que indica que la curva es convexa.

Curva de Demanda B si I=2000

Para `x1B* = I / (3P1)` con `I = 2000`:

• `x1B* = 2000 / (3P1)`.
• La primera derivada respecto a `P1` es `∂x1B*/∂P1 = -2000 / (3P1^2) < 0`, lo que indica que la demanda es decreciente.
• La segunda derivada es `∂^2x1B*/∂P1^2 = 4000 / (3P1^3) > 0`, lo que indica que la curva es convexa.

Demanda Total del Bien 1

Asumiendo `I_A = 1000` y `I_B = 2000`:

• La demanda total del bien 1 es la suma de las demandas individuales: `x1_Total = x1A* + x1B*`.
• `x1_Total = (1000 / (2P1)) + (2000 / (3P1)) = (500/P1) + (2000/(3P1))`.
• Para sumar, buscamos un denominador común: `(1500/(3P1)) + (2000/(3P1)) = 3500 / (3P1)`.

Nueva Demanda si I de A aumenta a 2000

Si la renta de A (`I_A`) aumenta a `2000`, y `I_B = 2000`:

• `x1A* = 2000 / (2P1) = 1000/P1`.
• `x1B* = 2000 / (3P1)`.
• La nueva demanda total del bien 1 es: `x1_Total_Nueva = (1000/P1) + (2000/(3P1))`.
• Sumando: `(3000/(3P1)) + (2000/(3P1)) = 5000 / (3P1)`.

Problema 4

A. Funciones de Producción y Costes

Función de Producción

La función de producción `Q(L)` se define por tramos:

• `Q = 1/2 L^2` para `0 < L ≤ 2`.
• `Q = 3L - 1/4 L^2 - 3` para `2 < L ≤ 7`.
• (La función para `L > 7` no está completa en el documento original).

Cálculo del Producto Marginal (PML)

El Producto Marginal del Trabajo (PML) se calcula como la derivada de la función de producción respecto a `L` (`PML = ∂Q/∂L`):

• Para `0 < L ≤ 2`: `PML = L`.
• Para `2 < L ≤ 7`: `PML = 3 - 1/2 L`.

Análisis del Producto Marginal

Para determinar dónde el Producto Marginal disminuye o aumenta, analizamos la pendiente de la PML (su segunda derivada de Q):

• Para `0 < L ≤ 2`: `PML = L`. La derivada de PML es `∂PML/∂L = 1 > 0`. El producto marginal es creciente.
• Para `2 < L ≤ 7`: `PML = 3 - 1/2 L`. La derivada de PML es `∂PML/∂L = -1/2 < 0`. El producto marginal es decreciente.

Valores de la Función de Producción

Para representar la Función de Producción, podemos dar valores a `L`:

• Si `L = 1`, `Q = 1/2 (1)^2 = 1/2`.
• Si `L = 2`, `Q = 1/2 (2)^2 = 2`.
• Si `L = 3`, `Q = 3(3) - 1/4(3)^2 - 3 = 9 - 9/4 - 3 = 6 - 2.25 = 3.75`.
• Si `L = 7`, `Q = 3(7) - 1/4(7)^2 - 3 = 21 - 49/4 - 3 = 18 - 12.25 = 5.75`.

Producto Medio (PMe)

El Producto Medio del Trabajo (PMe) se calcula como `PMe(L) = Q/L`:

• Para `0 < L ≤ 2`: `PMe(L) = (1/2 L^2) / L = 1/2 L`.
• Para `2 < L ≤ 7`: `PMe(L) = (3L - 1/4 L^2 - 3) / L = 3 - 1/4 L - 3/L`.

El Producto Medio aumenta o disminuye según la forma de la función:

• Para `0 < L ≤ 2`: `PMe(L) = 1/2 L`. La derivada de PMe es `∂PMe/∂L = 1/2 > 0`. El producto medio es creciente.

Producción con Sustitutos Perfectos (Q=L+K)

Dada la función de producción `Q = L + K`.

Si `PML/w > PMK/r`, donde `PML/PMK` es la pendiente de la isocuanta y `w/r` es la pendiente de la línea de isocoste. En este caso, los factores de producción (Trabajo y Capital) son sustitutos perfectos (esto se visualiza en un gráfico de isocuantas lineales).

En esta situación, sería posible una minimización de costes dándose una solución de esquina. Si `PML/w > PMK/r`, la empresa no utilizaría nada de capital, basando toda su producción en el trabajo. Esto ocurre porque a la empresa le resulta relativamente más barato contratar el factor trabajo que el factor capital.

Funciones de Costes (C(q))

Dada la función de coste total: `C(q) = q^3/3 - 20q^2 + 500q + 72.000`.

• Curva de Coste Marginal (CMg): `CMg = ∂C/∂q = q^2 - 40q + 500`.
• Coste Variable Medio (CVMe): `CVMe = CV/q = (q^3/3 - 20q^2 + 500q) / q = q^2/3 - 20q + 500`.
• Coste Medio Total (CMe): `CMe = C_Total/q = (q^3/3 - 20q^2 + 500q + 72000) / q = q^2/3 - 20q + 500 + 72000/q`.

Para encontrar la cantidad de producción `Q` para la cual el Coste Medio, Coste Variable Medio y Coste Marginal son mínimos, se derivan estas funciones e igualan a cero (o se iguala CMg a CMe/CVMe). Para representar las curvas, se sustituyen puntos en cada función.

Comportamiento de las Curvas de Costes

• El Coste Marginal y el Coste Variable Medio parten del mismo punto (cuando `Q=0`, `CMg=500`, `CVMe=500`). Ambas curvas son decrecientes hasta alcanzar su mínimo y luego crecientes.
• El Coste Medio Total siempre está por encima del Coste Variable Medio, aunque se acercan a medida que aumenta la producción. El CMe disminuye hasta su mínimo y luego aumenta.

B. Tasa Marginal de Sustitución Técnica (RMST)

Dadas las funciones de producción:

• `f(L,K) = L^(1/4) K^(1/4)`
• `g(L,K) = L^(1/2) K^(1/2)`

La Tasa Marginal de Sustitución Técnica (RMST) se calcula como el cociente del Producto Marginal del Trabajo (MPL) y el Producto Marginal del Capital (MPK): `RMST = MPL / MPK`.

• Para `f(L,K)`:
  • `MPL = (1/4)L^(-3/4)K^(1/4)`
  • `MPK = (1/4)L^(1/4)K^(-3/4)`
  • `RMST_f = (K/L)`
• Para `g(L,K)`:
  • `MPL = (1/2)L^(-1/2)K^(1/2)`
  • `MPK = (1/2)L^(1/2)K^(-1/2)`
  • `RMST_g = (K/L)`