Ejercicios Resueltos de Microeconomía Aplicada

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Fundamentos de Producción y Costes

Análisis de Costes a Corto y Largo Plazo

Dada una función de producción Q = 6KL, con un precio del trabajo (w) de 5 y un precio del capital (r) de 5.

Cálculo de Costes a Corto Plazo (CP)

  • Condición de Corto Plazo: El capital (K) es fijo, con K = 3.
  • Cantidad de Trabajo para 486 unidades: Para producir Q = 486 unidades, se calcula la cantidad de trabajo (L) necesaria:
    • 486 = 6 * 3 * L
    • 486 = 18L
    • L = 27 unidades de trabajo.
  • Costo Total (CT) de Producción: El costo total se calcula como CT = wL + rK.
    • CT = (5 * 27) + (5 * 3)
    • CT = 135 + 15
    • CT = 150.
  • Función de Costes a Corto Plazo (CT = f(Q)):
    • De la función de producción Q = 6KL, con K=3, obtenemos Q = 18L.
    • Despejando L: L = Q/18.
    • Sustituyendo L en la ecuación de Costo Total: CT = wL + rK = 5(Q/18) + 5(3)
    • CT = (5Q/18) + 15.

Minimización de Costes a Largo Plazo (LP)

  • Objetivo: Producir Q = 486 unidades al mínimo coste posible.
  • Función a Minimizar: CT = 5L + 5K.
  • Restricción: 486 = 6KL.
  • Método de Lagrange: Se formula el Lagrangiano 𝒳 = 5L + 5K + λ(6KL - 486).
  • Se derivan las condiciones de primer orden para encontrar los valores óptimos de L y K, y luego se calcula el Costo Total (CT = 5L + 5K).

Función de Costes a Largo Plazo (LP)

Para encontrar la función de costes a Largo Plazo, se sigue el mismo procedimiento de minimización de costes, pero manteniendo Q como una variable en lugar de un valor fijo (486). Se derivan las demandas condicionadas de L y K en función de Q, y luego se sustituyen en la función de Costo Total.

Maximización de Beneficios y Oferta de la Empresa

Análisis de una Empresa en Corto Plazo

Dada la función de Costo Total a Corto Plazo CT = 2q3 - 40q2 + 400q + 1944, y las funciones de demanda y oferta de mercado: Qd = 21696 - 12p; Qs = 12p.

Maximización del Beneficio

  • Equilibrio de Mercado: Se igualan Qd y Qs para encontrar el precio de equilibrio.
    • 21696 - 12p = 12p
    • 21696 = 24p
    • p = 904.
  • Condición de Maximización de Beneficio (P = CMg): El precio de mercado (P) se iguala al Costo Marginal (CMg), que es la primera derivada del Costo Total (CT').
    • CMg = dCT/dq = 6q2 - 80q + 400.
    • 904 = 6q2 - 80q + 400.
    • 6q2 - 80q - 504 = 0.
    • Resolviendo esta ecuación de segundo grado, se obtienen dos posibles valores para q.
  • Condición de Segundo Orden: Para asegurar que es un máximo de beneficio, la segunda derivada del CT (CMg') debe ser positiva en el punto de producción elegido (CMg creciente).
    • CMg' = 12q - 80.
    • Si q = 18 (uno de los resultados de la ecuación), CMg' = 12(18) - 80 = 216 - 80 = 136 > 0. Por lo tanto, q=18 es el nivel de producción que maximiza el beneficio.
  • Cálculo del Beneficio: Beneficio = Ingreso Total (IT) - Costo Total (CT).
    • IT = P * q = 904 * 18.
    • CT(18) = 2(18)3 - 40(18)2 + 400(18) + 1944.
    • Beneficio = (904 * 18) - (2 * 183 - 40 * 182 + 400 * 18 + 1944).

Función de Oferta de la Empresa y Punto de Cierre

  • La función de oferta de la empresa en competencia perfecta es su curva de Costo Marginal (CMg) por encima del mínimo del Costo Variable Medio (CVMe).
  • Costo Variable Medio (CVMe): CVMe = CV/q = (2q3 - 40q2 + 400q) / q = 2q2 - 40q + 400.
  • Mínimo del CVMe (Punto de Cierre): Se deriva CVMe respecto a q y se iguala a cero.
    • dCVMe/dq = 4q - 40 = 0.
    • q = 10.
    • Sustituyendo q=10 en la función de CVMe: CVMe(10) = 2(10)2 - 40(10) + 400 = 200 - 400 + 400 = 200.
  • La empresa no producirá si el precio de mercado (P) es inferior al Costo Variable Medio mínimo (P < 200).

Punto de Cierre y Óptimo de Explotación

  • Punto de Cierre: Se encuentra el mínimo del Costo Variable Medio (CVMe = CV/Q). Para ello, se deriva CVMe respecto a Q y se iguala a cero. La Q resultante se sustituye en la función de CVMe para obtener el precio de cierre.
  • Óptimo de Explotación (Mínimo del Costo Medio Total, CMeT): Se encuentra el mínimo del Costo Medio Total (CMeT = CT/Q). Para ello, se deriva CMeT respecto a Q y se iguala a cero, o se iguala el Costo Marginal (CMg) al Costo Medio Total (CMg = CMeT). Si la función de CT incluye un coste fijo (ej. 625/q), este se considera en el CMeT.

Equilibrio en Competencia Perfecta a Largo Plazo

Dada la función de Costo Total a Largo Plazo CTLP = 2Q3 - 144Q2 + 2612Q. La demanda del mercado es: QM = 116640 - 1944P.

Cálculo del Precio y Cantidad de Equilibrio de la Empresa

  • En competencia perfecta a Largo Plazo, la empresa produce en el mínimo de su Costo Medio Total (CMeT), y el precio de mercado es igual a este mínimo.
  • Costo Medio Total (CMeT): CMeT = CTLP/Q = 2Q2 - 144Q + 2612.
  • Mínimo del CMeT: Se deriva CMeT respecto a Q y se iguala a cero.
    • dCMeT/dQ = 4Q - 144 = 0.
    • Q = 36 unidades (producción de cada empresa).
    • Sustituyendo Q=36 en la función de CMeT para obtener el precio de equilibrio:
      • P = CMeT(36) = 2(36)2 - 144(36) + 2612 = 2(1296) - 5184 + 2612 = 2592 - 5184 + 2612 = 20.
  • Cantidad Total Demandada en el Mercado: Se sustituye el precio de equilibrio (P=20) en la ecuación de demanda de mercado.
    • QM = 116640 - 1944(20) = 116640 - 38880 = 77760.

Número de Empresas en el Mercado

  • El número de empresas se calcula dividiendo la cantidad total demandada en el mercado por la cantidad producida por cada empresa individual.
    • Número de empresas = QM / Qempresa = 77760 / 36 = 2160 empresas.

Funciones de Producción y Costes Específicas

Función de Producción Cobb-Douglas

Dada la función de producción Q = L1/2 K1/2, con precios de los factores: w = 80 (trabajo) y r = 45 (capital). En el corto plazo, el capital es fijo: K = 16.

Análisis de Producción

  • Función de Producción a Corto Plazo: Sustituyendo K=16, obtenemos Q = L1/2 * 161/2 = L1/2 * 4. Por lo tanto, Q(L) = 4√L.
  • Producto Medio del Trabajo (PMeL): PMeL = Q/L = (4√L) / L = 4/√L.
  • Producto Marginal del Trabajo (PMgL): PMgL = dQ/dL = d(4L1/2)/dL = 4 * (1/2) * L-1/2 = 2/√L.
  • Rendimientos a Escala: Para la función Q = Lα Kβ, los rendimientos a escala son crecientes si α+β > 1, constantes si α+β = 1, y decrecientes si α+β < 1. En este caso, α=1/2 y β=1/2, por lo que α+β = 1. La función presenta rendimientos constantes a escala.

Funciones de Costes a Corto Plazo (CP)

  • De Q = 4√L, despejamos L: L = (Q/4)2 = Q2/16.
  • Costo Total (CT): CT = wL + rK = 80(Q2/16) + 45(16) = 5Q2 + 720.
  • Costo Medio (CMe): CMe = CT/Q = 5Q + 720/Q.
  • Costo Variable Medio (CVMe): CVMe = CV/Q = (5Q2)/Q = 5Q.
  • Costo Marginal (CMg): CMg = dCT/dQ = 10Q.

Función de Producción Leontief (Proporciones Fijas)

Dada la función de producción Q = min{4L, 5K}, con precios del trabajo w = 10 y del capital r = 15.

Demanda Condicionada y Función de Coste Medio a Largo Plazo

  • En una función Leontief, los factores se utilizan en proporciones fijas. Para producir Q unidades, se requiere que 4L = Q y 5K = Q.
  • Demandas Condicionadas de Factores:
    • L(Q) = Q/4
    • K(Q) = Q/5
  • Costo Total (CT) a Largo Plazo: CT(Q) = w⋅L(Q) + r⋅K(Q) = 10(Q/4) + 15(Q/5) = 2.5Q + 3Q = 5.5Q.
  • Costo Medio (CMe) a Largo Plazo: CMe(Q) = CT(Q)/Q = 5.5Q/Q = 5.5.

Equilibrio de Mercado y Desplazamientos

Determinación de Precio y Cantidad de Equilibrio

Dada la función de Costo Total CT = 2Q3 - 16Q2 + 40Q y la función de demanda de mercado (Q/42960) + (P/358) = 1.

  • Para encontrar el precio de equilibrio de la empresa, se suele buscar el mínimo del Costo Medio Total (CMeT) o el punto donde CMg = CMeT.
  • Costo Medio Total (CMeT): CMeT = CT/Q = 2Q2 - 16Q + 40.
  • Costo Marginal (CMg): CMg = dCT/dQ = 6Q2 - 32Q + 40.
  • Igualando CMg = CMeT (o derivando CMeT e igualando a cero para su mínimo):
    • 6Q2 - 32Q + 40 = 2Q2 - 16Q + 40
    • 4Q2 - 16Q = 0
    • 4Q(Q - 4) = 0
    • Esto da Q = 0 o Q = 4. Se elige Q=4 como nivel de producción.
  • Precio de Equilibrio de la Empresa (P): Se sustituye Q=4 en la función de CMeT (o CMg).
    • P = CMeT(4) = 2(4)2 - 16(4) + 40 = 2(16) - 64 + 40 = 32 - 64 + 40 = 8.
  • Cantidad Total Demandada en el Mercado: Se sustituye P=8 en la función de demanda de mercado.
    • (Q/42960) + (8/358) = 1
    • (Q/42960) + 0.022346 = 1
    • Q/42960 = 0.977654
    • Q = 0.977654 * 42960 ≈ 42000.
  • Número de Empresas: Número de empresas = Qmercado / Qempresa = 42000 / 4 = 10500 empresas.

Análisis de Desplazamiento de la Demanda

Dadas las funciones de demanda y oferta iniciales: Qd = 250 - 50p y Qs = 25 + 25p. Una nueva curva de demanda: Qd' = 550 - 50p.

Equilibrio Inicial

  • Se igualan las funciones de demanda y oferta iniciales:
    • 250 - 50p = 25 + 25p
    • 225 = 75p
    • p = 3 (precio de equilibrio inicial).
    • Sustituyendo p=3 en Qs: Qs = 25 + 25(3) = 25 + 75 = 100 (cantidad de equilibrio inicial).

Nuevo Equilibrio tras el Desplazamiento de la Demanda

  • Se iguala la nueva función de demanda (Qd') con la función de oferta (Qs):
    • 550 - 50p = 25 + 25p
    • 525 = 75p
    • p = 7 (nuevo precio de equilibrio).
    • Sustituyendo p=7 en Qs: Qs = 25 + 25(7) = 25 + 175 = 200 (nueva cantidad de equilibrio).

Función de Oferta a Largo Plazo (Propuesta)

  • La oferta a largo plazo propuesta en el documento es: OfertaLP = 0 si p < 3 y OfertaLP = 550 - 50p si p > 3. (Nota: Esta función de oferta a largo plazo parece ser una simplificación o una condición específica, no directamente derivada de las Qs dadas.)
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