Ejercicios Resueltos de Matrices, Determinantes y Sistemas Lineales

Regla de Sarrus

Positivos: a₁₁·a₂₂·a₃₃ + a₁₂·a₂₃·a₃₁ + a₁₃·a₂₁·a₃₂

Negativos: -a₁₃·a₂₂·a₃₁ - a₁₂·a₂₁·a₃₃ - a₁₁·a₂₃·a₃₂

Determinantes y Rango

Si el determinante no es cero, el rango coincide con el orden de la matriz (ejemplo: 3 filas y 3 columnas = rango 3), y así sucesivamente.

Ejemplos de Sarrus

1) Aplicando la regla de Sarrus, calcula estos determinantes:

a)

b)

2) Desarrollando por una fila o una columna, calcula estos determinantes:

a)

b) - 0

c)

Matrices

1) Calcula a, b, c y d para que se cumpla:

• 2a = a + 5 → a = 5
• 2b = 7 + a + b → 2b = 7 + 5 + b → b = 12
• 2c = -2 + c + d → 2c = -2 + c - 4 → c = -6
• 2d = 3d + 4 → d = -4

2) Dadas las matrices:

Calcula:

a) M + N - (2M - 3N)

M + N =

2M - 3N =

b) M·N - (M + I) · (N - I)

M·N →

3) Calcula la matriz inversa mediante el método de Gauss:

a)

4) Calcula el rango de estas matrices:

a)

b)

c)

Sistemas Lineales

1) Analizar y resolver este sistema:

(2·8·1) + (3·-3·3) + (-1·1·-2) - (-1·8·3) - (3·1·1) - (2·-3·-2) = 0 → Rang(A) = Rang(AB)

El sistema es compatible indeterminado: →

2) Analizar y resolver el sistema:

(1·1·-5) + (2·-1·3) + (1·3·-4) - (1·1·3) - (2·3·-5) - (1·-1·-4) = 0

Rang(AB) = 2

Programación Lineal

1) Con 80 kg de acero y 120 kg de aluminio, se quieren fabricar bicicletas de montaña y de paseo que se venderán a 200€ y 150€ respectivamente.

Para la de montaña son necesarios 1 kg de acero y 3 kg de aluminio; para la de paseo, 2 kg de cada uno.

¿Cuántas bicicletas de cada tipo se deben fabricar para obtener el máximo beneficio?

Solución:

• A) Bicicletas de montaña (x)
• B) Bicicletas de paseo (y)

Tabla de recursos:

• Acero: 1 kg (A) + 2 kg (B) = 80 kg
• Aluminio: 3 kg (A) + 2 kg (B) = 120 kg
• Beneficio: 200€ (X) + 150€ (Y)

Sistemas Lineales: Método de Cramer

1) Aplicar el método de Cramer para resolver los sistemas:

a) 2x - 5y = 3; -x + y = 5

b)

2) Estudia y resuelve, en su caso, estos sistemas:

a)

Rang(A) = Rang(AB). Si los rangos son iguales, el sistema es compatible.

El determinante es cero, por tanto el rango no es 3. El rango de A y el rango de AB = 2, el sistema es compatible y determinado.

(se aplica la regla de Cramer)

y = -1, x = 1