Ejercicios Resueltos de Matemáticas para Selectividad (2009-2012)

Septiembre 2009

Ejercicio 1: Problema de Programación Lineal

Se plantea un problema de optimización de beneficios basado en la fabricación y barnizado de dos tipos de productos, A y B.

Datos del problema:

Sea x la cantidad en m² del producto tipo A e y la cantidad en m² del producto tipo B.

Planteamiento y Restricciones:

• Restricción de fabricación: 0,3x + 0,2y ≤ 240 (equivalente a 3x + 2y ≤ 2400)
• Restricción de barnizado: 0,2x + 0,2y ≤ 200 (equivalente a x + y ≤ 1000)
• No negatividad: x ≥ 0, y ≥ 0

Función Objetivo (Maximizar Beneficio):

Z(x, y) = 4x + 3y

Cálculo de Vértices y Solución:

• Vértice 1: Z(0, 1000) = 3000
• Vértice 2: Z(400, 600) = 3400
• Vértice 3: Z(800, 0) = 3200

Conclusión: Para obtener el máximo beneficio, se deberán vender 400 m² del tipo A y 600 m² del tipo B. El beneficio de esta venta es de 3400 euros.

Ejercicio 2: Análisis de Funciones y Cálculo de Áreas

Apartado B: Recta tangente

En x = 1, la función es f(x) = x² + 9. Calculamos su derivada: f'(x) = 2x.

Evaluamos la función y la derivada en el punto:

• f(1) = 1² + 9 = 10
• La pendiente m = f'(1) = 2(1) = 2

La ecuación de la recta tangente es: y - 10 = 2(x - 1), lo que resulta en y = 2x + 8.

Apartado C: Cálculo de área

S = (1/2) · 9 · 8 + ∫²_-3(x² + 9) dx + (1/2) · 13 · 13 = 81 + [x³/3 + 9x]²_-3 + (169/2) = 1333/6 u²

Ejercicio 3: Probabilidad (Vivienda)

Apartado A: Probabilidad Total

P(Pa) = P(V) · P(Pa|V) + P(E) · P(Pa|E) + P(C) · P(Pa|C)

P(Pa) = 0,3 · 0,9 + 0,5 · 0,8 + 0,2 · 0,9 = 0,85

Apartado B: Teorema de Bayes

P(C|Pa) = (P(Pa|C) · P(C)) / P(Pa)

P(C|Pa) = (0,9 · 0,2) / 0,85 = 0,21176

Septiembre 2010

Ejercicio 2: Problema de Optimización (Ventana)

Se busca minimizar el coste de una ventana con área fija.

• Área: x · y = 2 ⇒ y = 2/x
• Perímetro: p(x, y) = 2x + 2y

Función de Coste a Optimizar:

C(x, y) = 50(x + 2y) ⇒ C(x) = 50(x + 4/x) = 50(x² + 4)/x

Cálculo de la Derivada y Puntos Críticos:

C'(x) = 50(x² - 4)/x² = 0 ⇒ x = 2, x = -2 (se descarta el valor negativo)

Análisis de Monotonía:

La función presenta un mínimo en x = 2.

Ejercicio 3: Demostración de Probabilidad

Si P(A|C) ≥ P(B|C) ⇒ P(A ∩ C) / P(C) ≥ P(B ∩ C) / P(C) ⇒ P(A ∩ C) ≥ P(B ∩ C)

Sabemos que:

• P(A) = P(A ∩ C) + P(A ∩ Cᶜ)
• P(B) = P(B ∩ C) + P(B ∩ Cᶜ)

Por lo tanto, se deduce que P(A) ≥ P(B).

Ejercicio 4: Estadística Inferencial

Apartado a)

300/320 = 0,9375

P(Z < 0,9375) = 1 - α/2 ⇒ 0,8289 = 1 - α/2 ⇒ α = 0,3422

Apartado b) Intervalo de Confianza

(x̄ - z_α/2 · σ / √n , x̄ + z_α/2 · σ / √n) = (4715,47; 4924,53)

Septiembre 2011 B

Ejercicio 2: Problema de Optimización

Apartado a) Maximizar Área

El perímetro es 2x + 2y = 12 ⇒ x + y = 6 ⇒ y = 6 - x.

Hay que optimizar la función de superficie S(x, y) = x · y ⇒ S(x) = x(6 - x) = -x² + 6x.

S'(x) = -2x + 6 = 0 ⇒ x = 3.

Análisis de Monotonía:

Hay un máximo en x = 3m, lo que corresponde a y = 3m y un área de 9 m².

Apartado b) Minimizar Función

P(x) = 2x² + 72/x

P'(x) = 4x - 72/x² = 0 ⇒ 4x³ = 72 ⇒ x³ = 18. (Nota: el texto original indica x = ±6, lo cual es una solución para 2x² - 72 = 0, no para la derivada de P(x)).

La función presenta un mínimo en x = 6m y, por tanto, y = 6m.

Ejercicio 3: Probabilidad

Apartado a)

P(b) = (3/6) · (1/3) + (1/6) · (2/3) + (2/6) · (1/3) = 4/9 ≈ 0,444

Apartado b)

( (1/2) · (1/3) ) / 0,444 = 0,375

Ejercicio 4: Estadística

Apartado a) Intervalo de Confianza

(103,467; 116,534)

Apartado b) Tamaño de la Muestra

n = (z_α/2 · σ / E)² = 15,3664 (se redondearía a 16)

Septiembre 2012

Ejercicio 1: Problema de Programación Lineal (Pintura)

Restricciones:

• x + 1,2y ≤ 480
• 10x + 10y ≤ 4500
• x, y ≥ 120

Evaluación en los Vértices:

• z(120, 120) = 840
• z(120, 300) = 1560
• z(300, 150) = 1500
• z(330, 120) = 1470

Conclusión: Se deben usar 120 litros de pintura del tipo 1 y 300 litros de pintura del segundo tipo. Podrían pintarse 1560 m².

Ejercicio 3: Probabilidad

Apartado A)

P(Ganar) = P(B) + P(NB) + P(NNB) = 1/5 + (2/5) · (1/4) + (2/5) · (1/4) · (1/3) = 1/3

Apartado B)

(2/5) / (2/3) = 3/5

Ejercicio 4: Estadística

Apartado a) Intervalo de Confianza

Datos: n = 100, x̄ = 48000, σ = 3000 y z_α/2 = 1,645.

Intervalo: (47506,5; 48493,5)

Apartado b) Tamaño de la Muestra

Datos: E = 1000, σ = 3000 y z_α/2 = 1,96.

n = (z_α/2 · σ / E)² ⇒ n = 34,577 (se redondearía a 35)