Ejercicios Resueltos de Matemáticas: Optimización, Probabilidad y Sistemas de Ecuaciones

Ejercicios de Matemáticas: Optimización, Probabilidad y Sistemas de Ecuaciones

Ejercicio 1: Optimización de Lámparas

Sopranos y Mezzos

Restricciones:

• x + y + z = 15
• 20x + 30y ≥ 6000 (Simplificado: 2x + 3y ≥ 600)
• 20x + 10y (Simplificado: 2x + y)

Ejercicio 2: Optimización de Unidades Sueltas y Lotes

Unidades Sueltas

y - 2 = z - 1

Lotes de 4

x + 4y

x+3y

Beneficio: B(x) = -x² + 360x - 18000

A) Calcular el beneficio para 100 unidades.

1. Sustituir x = 100 en B(x).

¿Cuántas unidades se han vendido si el beneficio diario es de 13500?

1. Igualar 13500 = -x² + 360x - 18000.

B) Número de unidades para beneficio máximo. ¿A cuánto asciende el beneficio?

1. Derivar B(x).
2. Igualar la derivada a 0.
3. Calcular B(180) y hacer un boceto.

C) ¿Cuántas unidades hay que vender para no tener pérdidas?

Igualar la función a 0.

Ejercicio 3: Problema de la Plancha

A) ¿Es el peso una función continua con la edad?

1. t = 3 (sustituir en la primera función).
2. Calcular el límite de t → 3 por la izquierda y por la derecha.

Por la izquierda, sustituimos con la Función 1 (F1), y por la derecha, sustituimos con la Función 2 (F2).

B) Según vaya pasando el tiempo, ¿la plancha siempre aguantará más o menos peso?

Calcular la derivada de las funciones de P(t). Hacer un boceto. La plancha aguantará menos peso.

C) Dicen que, por mucho tiempo que transcurra, la plancha siempre aguantará más de 40 toneladas. ¿Estás de acuerdo?

Calcular el límite cuando x tiende a infinito de la segunda función: 56 - 20 = 36 toneladas.

D) ¿Cuántas toneladas ha soportado como máximo a lo largo de los 3 primeros años?

1. Calcular la integral: ∫(de 0 a 3) (50 - t²) dt = ∫(de 0 a 3) 50 dt - ∫(de 0 a 3) t² dt = [50t - t³/3] (evaluado de 0 a 3) = F(3) - F(0) = 141.

Ejercicio 4: Probabilidad de Alcohólicos

Datos:

• P(Padre alcohólico) = 0.4
• P(Madre alcohólica) = 0.06
• P(Madre alcohólica | Padre alcohólico) = 0.17

A) Un alcohólico tiene madre y padre alcohólicos.

P(M|P) = P(M ∩ P) / P(P) => 0.17 = P(M ∩ P) / 0.4 => P(M ∩ P) = 0.17 * 0.4 = 0.068

B) Porcentaje de alcohólicos que tienen padre o madre alcohólicos.

P(P ∪ M) = P(P) + P(M) - P(P ∩ M) = 0.4 + 0.06 - 0.068 = 0.392 => 39.2%

Ejercicio 5: Probabilidad de Cámaras Fotográficas

A) Calcular la probabilidad de que no se haya podido reparar.

P(No R) = P(A) * P(No R|A) + P(B) * P(No R|B)

B) Si se observa que no ha sido reparada, ¿cuál es la probabilidad de que sea del modelo B?

P(B|No R) = P(B ∩ No R) / P(No R). *Nota: Los valores proporcionados en el enunciado original son incorrectos (la probabilidad no puede ser mayor que 1).*

Ejercicio 6: Probabilidad en un Centro Escolar

A) No lleve gafas: P(No G)

B) Sea chica y lleve gafas:

P(A ∩ G) = P(A) * P(G|A) = (3/4) * 0.22 = 0.165

C) Sea chica, sabiendo que lleva gafas:

P(A|G) = P(A ∩ G) / P(G)

Ejercicio 7: Probabilidad en Supermercados

A) Compre en algún supermercado:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 0.58 + 0.35 - 0.12 = 0.81

B) No compre en ningún supermercado:

P(No A ∩ No B) = 1 - P(A ∪ B) = 1 - 0.81 = 0.19

C) Compre solamente en un supermercado:

P((A ∩ No B) ∪ (No A ∩ B)) = P(A ∩ No B) + P(No A ∩ B) = (0.58 - 0.12) + (0.35 - 0.12) = 0.46 + 0.23 = 0.69

D) Compre en el supermercado A, sabiendo que no compra en el B:

P(A|No B) = P(A ∩ No B) / P(No B) = 0.46 / (1-0.35) = 0.46 / 0.65

Ejercicio 8: Optimización de Piensos para Animales

Restricciones:

• x ≥ 0
• y ≥ 0
• Función objetivo: F(x, y) = 1000x + 2000y
• x <= 4/x (Esta restricción necesita ser revisada, probablemente sea x ≤ 4)

Ejercicio 9: Probabilidad de Personas Mayores

B) Elegida una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer o no sea dependiente?

P(M ∪ No D) = P(M) + P(No D) - P(M ∩ No D) = 0.6 + (1 - 0.16) - 0.48 = 0.96

P(M ∩ No D) = P(M) * P(No D|M) = 0.6 * 0.80 = 0.48

Ejercicio 10: Sistema de Tres Sucursales

Sistema de ecuaciones:

1. x + y + z = 45
2. z = (x + y) / 2 => x + y - 2z = 0
3. x = 2(y - z) => x - 2y + 2z = 0

Ejercicio 11: Optimización en Taller de Motos (Nuevas/Usadas)

0.5x+3y->

x+y->

*Nota: Faltan las restricciones y función objetivo*

Ejercicio 12: Sistema de Examen (Alumnos A, B y C)

Sistema de ecuaciones:

1. y = 0.20(x + y + z) => 2x - 8y + 2z = 0 (multiplicado por 10)
2. x = y + z => x - y - z = 0
3. 5 + x = 2z => x - 2z = -5

-> -4800 > *Nota: Esta parte no está clara y necesita revisión.*