Ejercicios Resueltos de Matemáticas: Fracciones, Geometría y Álgebra Paso a Paso

Problema 1: Composición de una Mezcla de Café

Una mezcla de café está compuesta por 3/8 de café de Brasil, 5/12 de café de Colombia y el resto de café de Arabia.

A) ¿Qué parte de café de Arabia tiene la mezcla?

Para encontrar la fracción de café de Arabia, restamos las fracciones de café de Brasil y Colombia del total (que es 1).

Cálculo:

• Fracción total: 1
• Fracción de Brasil: 3/8
• Fracción de Colombia: 5/12

Convertimos las fracciones a un denominador común (m.c.m. de 8 y 12 es 24):

1 - 3/8 - 5/12 = 24/24 - (3*3)/(8*3) - (5*2)/(12*2)

= 24/24 - 9/24 - 10/24

= (24 - 9 - 10) / 24

= 5/24

Respuesta: La parte de café de Arabia en la mezcla es 5/24.

B) Si de café de Arabia hay 70 gramos, ¿cuál es la cantidad en gramos de los otros cafés?

Utilizamos una regla de tres simple para determinar la cantidad total de la mezcla y luego las cantidades de cada tipo de café.

Sabemos que 5/24 del total de la mezcla son 70 gramos de café de Arabia.

Paso 1: Calcular el total de la mezcla (X).

Si 5/24 del total (X) es igual a 70 gramos:

(5/24) * X = 70

X = 70 * (24/5)

X = 1680 / 5

X = 336 gramos

El total de la mezcla es de 336 gramos.

Paso 2: Calcular la cantidad de café de Brasil.

El café de Brasil representa 3/8 del total.

Cantidad de Brasil = (3/8) * 336

Cantidad de Brasil = (3 * 336) / 8

Cantidad de Brasil = 1008 / 8

Cantidad de Brasil = 126 gramos

Paso 3: Calcular la cantidad de café de Colombia.

El café de Colombia representa 5/12 del total.

Cantidad de Colombia = (5/12) * 336

Cantidad de Colombia = (5 * 336) / 12

Cantidad de Colombia = 1680 / 12

Cantidad de Colombia = 140 gramos

Verificación:

Sumamos las cantidades de cada café para asegurar que el total sea 336 gramos:

70 g (Arabia) + 126 g (Brasil) + 140 g (Colombia) = 336 gramos

Respuesta: Hay 126 gramos de café de Brasil y 140 gramos de café de Colombia.

Problema 2: Área de Cuadrado y Altura de Triángulo Equivalente

La superficie de un cuadrado es 49 cm². Halla la altura de un triángulo equivalente a dicha superficie, cuyo lado básico (base) es 24 cm.

Paso 1: Calcular el lado del cuadrado.

El área de un cuadrado (A) se calcula como lado al cuadrado (L²).

A = L²

49 cm² = L²

L = √49 cm²

L = 7 cm

El lado del cuadrado es 7 cm.

Paso 2: Calcular la altura del triángulo.

El triángulo es equivalente al cuadrado, lo que significa que tiene la misma superficie (área). Por lo tanto, el área del triángulo es 49 cm².

La fórmula del área de un triángulo (A_t) es (base × altura) / 2.

A_t = (base × altura) / 2

Sabemos que A_t = 49 cm² y la base = 24 cm.

49 cm² = (24 cm × altura) / 2

Multiplicamos ambos lados por 2:

49 cm² × 2 = 24 cm × altura

98 cm² = 24 cm × altura

Despejamos la altura:

altura = 98 cm² / 24 cm

altura ≈ 4.083 cm

Respuesta: La altura del triángulo es aproximadamente 4.083 cm.

Problema 3: Cálculo de Porcentaje de Descuento

Por una chaqueta que inicialmente costaba 145€, hemos pagado 116€. ¿Cuál es el porcentaje de descuento que nos han aplicado?

Paso 1: Calcular la cantidad del descuento.

Restamos el precio final del precio original para encontrar el monto del descuento.

Descuento = Precio Original - Precio Pagado

Descuento = 145€ - 116€ = 29€

El descuento aplicado es de 29€.

Paso 2: Calcular el porcentaje de descuento.

Para calcular el porcentaje de descuento, dividimos el monto del descuento entre el precio original y multiplicamos por 100.

Porcentaje de Descuento = (Descuento / Precio Original) × 100%

Porcentaje de Descuento = (29€ / 145€) × 100%

Porcentaje de Descuento = 0.2 × 100%

Porcentaje de Descuento = 20%

Respuesta: El porcentaje de descuento aplicado es del 20%.

Problema 4: Resolución de Edades por Sistema de Ecuaciones

La suma de las edades en años de dos personas es 66 y su diferencia es 8. Encuentra razonadamente dichas edades.

Paso 1: Establecer el sistema de ecuaciones.

Sea X la edad de la primera persona y Y la edad de la segunda persona.

• La suma de sus edades es 66: X + Y = 66 (Ecuación 1)
• La diferencia de sus edades es 8: X - Y = 8 (Ecuación 2)

Paso 2: Resolver el sistema de ecuaciones.

Podemos usar el método de sustitución o el de reducción. Usaremos el de reducción sumando ambas ecuaciones:

(X + Y) + (X - Y) = 66 + 8

2X = 74

X = 74 / 2

X = 37

Ahora, sustituimos el valor de X en la Ecuación 1:

37 + Y = 66

Y = 66 - 37

Y = 29

Verificación:

• Suma: 37 + 29 = 66 (Correcto)
• Diferencia: 37 - 29 = 8 (Correcto)

Respuesta: Las edades de las dos personas son 37 años y 29 años.

Problema 5: Cálculo de Área Sombreada (Cuadrado con Círculo Inscrito)

Calcula el valor del área sombreada, asumiendo que se trata de un cuadrado de lado 8 unidades con un círculo inscrito.

Paso 1: Calcular el área del cuadrado.

Si el lado del cuadrado es 8 unidades, su área es:

Área del Cuadrado = lado × lado = 8 × 8 = 64 unidades²

Paso 2: Calcular el área del círculo inscrito.

Si el círculo está inscrito en un cuadrado de lado 8, su diámetro es 8, por lo tanto, su radio es 4 unidades.

La fórmula del área de un círculo es π × radio² (usaremos π ≈ 3.14).

Área del Círculo = π × radio² = 3.14 × 4² = 3.14 × 16 = 50.24 unidades²

Paso 3: Calcular el área sombreada.

El área sombreada es la diferencia entre el área del cuadrado y el área del círculo.

Área Sombreada = Área del Cuadrado - Área del Círculo

Área Sombreada = 64 - 50.24 = 13.76 unidades²

Nota: La mención de "multiplicar por dos porque son 2 cuadros" en el texto original parece ser un error o una interpretación incorrecta del problema, ya que el enunciado pide "el área sombreada" en singular. Hemos calculado el área sombreada para una única figura.

Respuesta: El área sombreada es 13.76 unidades².

Problema 6: Máximo Común Divisor (MCD) y Mínimo Común Múltiplo (MCM)

Calcula el Máximo Común Divisor (MCD) y el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de 180 y 300.

Paso 1: Descomponer los números en factores primos.

• Para 180:
  • 180 ÷ 2 = 90
  • 90 ÷ 2 = 45
  • 45 ÷ 3 = 15
  • 15 ÷ 3 = 5
  • 5 ÷ 5 = 1
  • Así, 180 = 2² × 3² × 5
• Para 300:
  • 300 ÷ 2 = 150
  • 150 ÷ 2 = 75
  • 75 ÷ 3 = 25
  • 25 ÷ 5 = 5
  • 5 ÷ 5 = 1
  • Así, 300 = 2² × 3 × 5²

Paso 2: Calcular el Máximo Común Divisor (MCD).

El MCD se obtiene multiplicando los factores primos comunes elevados a su menor exponente.

• Factores comunes: 2, 3, 5
• Menor exponente de 2: 2²
• Menor exponente de 3: 3¹
• Menor exponente de 5: 5¹

MCD(180, 300) = 2² × 3¹ × 5¹ = 4 × 3 × 5 = 60

Paso 3: Calcular el Mínimo Común Múltiplo (MCM).

El MCM se obtiene multiplicando todos los factores primos (comunes y no comunes) elevados a su mayor exponente.

• Factores presentes: 2, 3, 5
• Mayor exponente de 2: 2²
• Mayor exponente de 3: 3²
• Mayor exponente de 5: 5²

MCM(180, 300) = 2² × 3² × 5² = 4 × 9 × 25 = 900

Respuesta:

• El Máximo Común Divisor de 180 y 300 es 60.
• El Mínimo Común Múltiplo de 180 y 300 es 900.

Problema 7: Cálculo de Superficie de un Solar Rectangular

Queremos calcular la superficie de un solar rectangular. Para ello, sabemos que su diagonal mide 26 metros y el lado menor mide 10 metros. ¿Cuánto mide dicha superficie?

Paso 1: Identificar los datos y la incógnita.

• Diagonal (d) = 26 m
• Lado menor (a) = 10 m
• Incógnita: Superficie (Área) del rectángulo.

El área de un rectángulo se calcula como base × altura. Conocemos un lado (10 m), que podemos considerar la altura. Necesitamos encontrar la base.

Paso 2: Utilizar el Teorema de Pitágoras para encontrar el lado desconocido.

La diagonal de un rectángulo forma un triángulo rectángulo con sus dos lados. Aplicamos el Teorema de Pitágoras (a² + b² = c², donde c es la hipotenusa, en este caso, la diagonal).

lado_menor² + lado_mayor² = diagonal²

10² + base² = 26²

100 + base² = 676

Despejamos la base²:

base² = 676 - 100

base² = 576

Calculamos la raíz cuadrada para encontrar la base:

base = √576

base = 24 metros

El lado mayor (base) del solar mide 24 metros.

Paso 3: Calcular la superficie del solar.

Ahora que conocemos ambos lados del rectángulo (10 m y 24 m), podemos calcular su área.

Área del Rectángulo = base × altura

Área del Rectángulo = 24 m × 10 m

Área del Rectángulo = 240 m²

Respuesta: La superficie del solar rectangular mide 240 m².