Ejercicios Resueltos de Matemáticas: Estadística, Funciones y Aplicaciones Prácticas

Pregunta 1: Datos de Vídeos de Amanda

Completar la Tabla de Frecuencias

Pasos para la Construcción de la Tabla:

1. Sumar todas las frecuencias (10 + 23 + 14 + 3 = 50).

2. Calcular la marca de clase: (Límite inferior + Límite superior) ÷ 2.

3. Calcular la frecuencia acumulada: Sumar progresivamente las frecuencias absolutas.

Tabla de Frecuencias Completa:

Cálculo de Moda, Mediana, Cuartiles y Diagrama de Caja

Pasos para el Cálculo y Representación:

1. Identificar la Moda: La clase con mayor frecuencia es 500–1000.

2. Determinar la Mediana: La posición 25 cae en el intervalo 500–1000.

3. Calcular el Primer Cuartil (Q1): La posición 12,5 cae en el intervalo 500–1000.

4. Calcular el Tercer Cuartil (Q3): La posición 37,5 cae en el intervalo 1000–2000.

5. Construir el Diagrama de Caja (Boxplot) utilizando los valores: mínimo (100), Q1, mediana, Q3, y máximo (3000).

Pregunta 2: Cálculo de la Nota Necesaria para Esther

Pasos para el Cálculo:

1. Calcular la nota parcial actual:

   • 8 × 0.20 = 1,6

   • 5 × 0.25 = 1,25

   • 6 × 0.15 = 0,9

2. Sumar las notas parciales: 1,6 + 1,25 + 0,9 = 3,75

3. Para obtener una nota final de 7, Esther necesita:

   • 7 - 3,75 = 3,25

   • 3,25 ÷ 0.40 = 8,125

Respuesta Final:

Esther necesita obtener una calificación de 8,13 o superior en la última evaluación para alcanzar una media final de 7 o más.

Pregunta 5: Estudio de una Función Cuadrática

Función Dada: y = x² - 2x - 3

Pasos para el Estudio de la Función:

1. Construir una tabla de valores para x: Elegir valores como -2, -1, 0, 1, 2, 3.

2. Sustituir los valores de x en la función para obtener los valores de y.

3. Cálculo del Vértice:

   • Fórmula: x = -b / (2a)

   • Sustituir x en la función para obtener y: y = 1² - 2(1) - 3 = -4

   • Vértice: (1, -4)

4. Puntos de Corte con el Eje Y: Cuando x = 0, y = -3. Punto de corte: (0, -3).

5. Puntos de Corte con el Eje X:

   • Resolver la ecuación cuadrática: x² - 2x - 3 = 0

   • Soluciones: x = -1 y x = 3. Puntos de corte: (-1, 0) y (3, 0).

Pregunta 7: Interpretación de Gráficos de Ingresos

Tienda A (Línea Gris):

• Períodos Crecientes: Enero a Marzo, Abril a Mayo, Agosto a Noviembre.

• Períodos Decrecientes: Marzo a Abril, Mayo a Julio.

Tienda B (Línea Negra):

• Períodos Crecientes: Enero a Febrero, Marzo a Mayo, Agosto a Noviembre.

• Períodos Decrecientes: Febrero a Marzo, Mayo a Julio.

Comparación y Diferencias Clave:

• La Tienda A presenta más meses con ingresos elevados y experimenta un crecimiento más frecuente.

• La Tienda B muestra caídas más pronunciadas a mitad de año (Mayo a Julio).

• Ambas tiendas experimentan crecimiento al final del año, pero la Tienda A registra ingresos globales superiores.

Pregunta 4: Aplicación de Función Cuadrática en el Movimiento de un Balón

Función Dada:

y = -x² + 8x - 10

¿Cuántos metros ha recorrido el balón al tocar el suelo? (Cuando y = 0)

1. Igualar la función a 0:
   -x² + 8x - 10 = 0

2. Cambiar los signos para facilitar la resolución:
   x² - 8x + 10 = 0

3. Resolver la ecuación cuadrática:
   Resultados:
   x = 1,27 y x = 6,73

Respuesta Final:

El balón recorre 6,73 metros en total hasta tocar el suelo (considerando el último punto donde y = 0).

¿En qué momento el balón está a 5 metros de altura? (Cuando y = 5)

1. Igualar la función a 5:
   -x² + 8x - 10 = 5

2. Pasar el 5 restando al otro lado de la ecuación:
   -x² + 8x - 15 = 0

3. Cambiar los signos:
   x² - 8x + 15 = 0

4. Resolver la ecuación cuadrática:
   Resultados:
   x = 2,1 y x = 5,9

Respuesta Final:

El balón está a 5 metros de altura en los segundos 2,1 y 5,9.

Pregunta 6: Modelado de Costos de Alquiler de Películas (Función Lineal)

Datos Proporcionados:

10 películas cuestan 8 €

20 películas cuestan 11 €

Paso 1: Calcular el costo por película adicional

El precio sube 3 € por cada 10 películas adicionales, lo que implica que cada película cuesta 0,3 €.

Paso 2: Determinar el costo fijo (sin películas)

Si 10 películas cuestan 8 € y cada una tiene un costo de 0,3 €, entonces:

0,3 × 10 = 3 € (costo de las 10 películas). Por lo tanto, el costo fijo es: 8 - 3 = 5 €.

Resultado: Función de Costo

La función que representa el costo es: y = 0,3x + 5

Donde x representa el número de películas y y el precio total en euros.

Ejemplos de Aplicación:

• Si se alquilan 15 películas: 0,3 × 15 + 5 = 9,5 €

• Si se alquilan 25 películas: 0,3 × 25 + 5 = 12,5 €