Ejercicios Resueltos de Hipérbolas: Cálculo de Ecuaciones, Focos y Asíntotas

Ejercicios Prácticos sobre la Hipérbola

Esta sección presenta una colección de problemas resueltos que ilustran la determinación de la ecuación de la hipérbola a partir de sus elementos clave (focos y vértices), así como la identificación de sus propiedades a partir de su ecuación canónica o general.

1. Determinación de la Ecuación a partir de Focos y Vértices

Los focos y los vértices de una hipérbola son los puntos: F(5, 0), F'(-5, 0), V₁ (4, 0) y V₂ (-4, 0), respectivamente. Determine la ecuación de la hipérbola. Dibuje su gráfica e indique las asíntotas.

Solución

Como los focos están sobre el eje x, la hipérbola es horizontal y su centro es el origen C(0, 0). La ecuación canónica es de la forma: $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$

De los datos, se tiene que la distancia del centro al vértice es $a=4$ y la distancia del centro al foco es $c=5$.

Calculamos $b^2$ usando la relación fundamental $c^2 = a^2 + b^2$:

• $b^2 = c^2 - a^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$.

En consecuencia, la ecuación de la hipérbola es: $$\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$$

Las ecuaciones de las asíntotas son las rectas $y = \pm \frac{b}{a}x$. Sustituyendo $a=4$ y $b=3$:

Las ecuaciones de las asíntotas son: $y = \frac{3}{4}x$ y $y = -\frac{3}{4}x$.

(Ver figura 6.5.13 para la representación gráfica).

2. Identificación de Elementos a partir de la Ecuación Canónica

Dada la hipérbola cuya ecuación viene dada por: $$\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{7} = 1$$ Determine: coordenadas de los focos, de los vértices y ecuaciones de las asíntotas. Trazar la gráfica.

Solución

La ecuación corresponde a una hipérbola cuyo centro es el origen C(0, 0) y cuyo eje focal coincide con el eje y (hipérbola vertical).

De la ecuación, identificamos:

• $a^2 = 9 \implies a = 3$.
• $b^2 = 7$.

Calculamos $c^2$: $c^2 = a^2 + b^2 = 9 + 7 = 16$. Luego, $c = 4$.

Con estos datos, se tienen las coordenadas:

• Focos: F(0, 4) y F'(0, -4).
• Vértices: V₁(0, 3) y V₂(0, -3).

Además, las ecuaciones de las asíntotas son las rectas $y = \pm \frac{a}{b}x$.

Las ecuaciones de las asíntotas son: $y = \frac{3}{\sqrt{7}}x$ e $y = -\frac{3}{\sqrt{7}}x$.

(Ver figura 6.5.14 para la representación gráfica).

3. Hipérbola con Centro Desplazado y Eje Focal Paralelo al Eje X

Una hipérbola cuyo centro es el punto C(2, 3), tiene sus focos sobre la recta y = 3. Además, la distancia entre los focos es 10 unidades y la distancia entre sus vértices es 8 unidades. Trazar la gráfica y determine: coordenadas de los vértices, focos y ecuaciones de las asíntotas.

Solución

El centro es $C(h, k) = (2, 3)$. Puesto que los focos están sobre la recta y = 3 (paralela al eje x), la hipérbola es horizontal desplazada. La ecuación tiene la forma: $$\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$$

Determinación de parámetros:

• Distancia entre vértices $2a = 8$, se sigue que $a = 4$.
• Distancia entre focos $2c = 10$, se sigue que $c = 5$.
• Calculamos $b^2$: $b^2 = c^2 – a^2 = 5^2 – 4^2 = 9$. Así que $b = 3$.

La ecuación de la hipérbola es: $$\frac{(x-2)^2}{16} - \frac{(y-3)^2}{9} = 1$$

Cálculo de coordenadas:

• Focos: $F(h \pm c, k)$. Esto es $F(2 \pm 5, 3)$. Las coordenadas son: F(7, 3) y F'(-3, 3).
• Vértices: $V(h \pm a, k)$. Esto es $V(2 \pm 4, 3)$. Las coordenadas son: V₁(6, 3) y V₂(-2, 3).

Las ecuaciones de las asíntotas son de la forma $y-k = \pm \frac{b}{a}(x-h)$.

Sustituyendo valores: $y-3 = \pm \frac{3}{4}(x-2)$.

Las ecuaciones de las asíntotas son: $y-3 = \frac{3}{4}(x-2)$ y $y-3 = -\frac{3}{4}(x-2)$.

(Ver figura 6.5.15 para la representación gráfica).

4. Conversión de la Ecuación General a Canónica

Dada la hipérbola, cuya ecuación en su forma general es: $3y^2 – x^2 + 4x – 6y – 13 = 0$. Determine y grafique: centro, focos, vértices y ecuaciones de las asíntotas.

Solución

Convertimos la ecuación general a la forma canónica completando cuadrados:

$$3y^2 – 6y – x^2 + 4x = 13$$

$$3(y^2 – 2y) – (x^2 – 4x) = 13$$

$$3(y^2 – 2y + 1) – (x^2 – 4x + 4) = 13 + 3(1) – 1(4)$$

$$3(y – 1)^2 – (x – 2)^2 = 12$$

Dividiendo por 12, obtenemos la forma canónica:

$$\frac{(y – 1)^2}{4} – \frac{(x – 2)^2}{12} = 1$$

Esta ecuación corresponde a una hipérbola cuyo centro es el punto C(2, 1) y su eje focal es una recta paralela al eje y ($x = 2$).

Identificamos los parámetros:

• $a^2 = 4 \implies a = 2$.
• $b^2 = 12$.
• $c^2 = a^2 + b^2 = 4 + 12 = 16$. Con lo cual $c = 4$.

Cálculo de coordenadas (Eje focal vertical, $x=2$):

• Focos: $F(h, k \pm c)$. Esto es $F(2, 1 \pm 4)$. Las coordenadas son: F(2, 5) y F'(2, -3).
• Vértices: $V(h, k \pm a)$. Esto es $V(2, 1 \pm 2)$. Las coordenadas son: V₁(2, 3) y V₂(2, -1).

Las ecuaciones de las asíntotas son de la forma $y-k = \pm \frac{a}{b}(x-h)$.

$$y-1 = \pm \frac{2}{\sqrt{12}}(x-2) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}(x-2)$$

Las ecuaciones de las asíntotas son las rectas: $y-1 = \frac{1}{\sqrt{3}}(x-2)$ e $y-1 = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x-2)$.

(Ver figura 6.5.16 para la representación gráfica).