Ejercicios resueltos de funciones: continuidad, derivabilidad y optimización

Sea la función definida por f(x) = x2/2 si x ≤ 0 ; x3 -4x2 si 0 < x="" ≤="" 4="" ;="" 1="" -="" 4/x="" si="" x="">4

a) La función x2 /2 es una función polínómica luego es continua y derivable en todo R, en particular en x < 0.="" la="" función="" x3="" -x2="" es="" una="" función="" polínómica="" luego="" es="" continua="" y="" derivable="" en="" todo="" r,="" en="" particular="" en="" 0="">< x="">< 4.="" la="" función="" 1-4/x="" es="" una="" función="" racional="" luego="" es="" continua="" y="" derivable="" en="" todo="" r-="" {0},="" en="" particular="" es="" continua="" y="" derivable="" en="" x=""> 0. Falta estudiar la continuidad y derivabilidad en x = 0 y x = 4. Lim de x tiende a 0 por la izquierda de x2/2= 0. Lim de x tiende a 0 por la derecha de x3 -4x2= 0 ; f(0) = lim de x tiende a 0 de f(x)= 0. Continua en x=0. Lim de x tiende a 4 por la izquierda de x3 -4x2 = 0. Lim de x tiende a 4 por la derecha de 1- 4/x =0. F(4)= lim de x tiende a 4 de f(x) = 0. Continua en x=4. Calculamos la función derivada: f’(x) = x si x<0 ;="" 3x2="" -8x="" si="">0>< x=""><4 ;="" 4/x2="" si="" x="">4. F’(0izquierda)=0. F’(0derecha)=0. Al igualarlo vemos que es derivable en x=0. F’(4izquierda) =16. F’(4derecha) = 1/4. Al igualarlo vemos que no es derivable en x=4. Luego la función f(x) es continua en R y derivable en R - {4}. B)La ecuación de la tangente es: y -f(2) = f’(2)(x-2) ; y+8 = -4(x-2) ; y= -4x.

Un consultorio médico abre a las 5 de la tarde y cierra cuando no hay pacientes

a) La expresión que representa el número medio de pacientes en función del tiempo en horas, t, que lleva abierto el consultorio es N(t) = 4t – t2. Como lo que nos piden es el máximo de una función derivable sabemos que si N’(a) = 0 y N’’(a) < 0,="" t="a" es="" un="" máximo,="" que="" tendremos="" que="" sumar="" al="" 5="" pues="" a="" las="" 5="" se="" abre="" el="" consultorio.="" n(t)="4t" –="" t2="" ;="" n’(t)="4" –="" 2t.="" de="" n’(t)="0" tenemos="" 4="" –="" 2t="0," de="" donde="" t="2." n’’(t)="–" 2="">< 0,="" luego="" t="2" es="" un="" máximo.="" como="" la="" consulta="" abre="" a="" las="" 5="" de="" la="" tarde="" el="" número="" máximo="" de="" pacientes="" se="" alcanza="" a="" las="" 5+2="7" de="" la="" tarde.="" el="" número="" de="" pacientes="" para="" x="2" es="" n(2)="8" -="" 4="4" pacientes.="" b)="" de="" n="" (t)="0," tenemos="" 4t="" –t2="0" =="" t="" (4–t)="0," de="" donde="" t="0" y="" t="4." si="" le="" damos="" el="" valor="" t="0" tenemos="" 5+0="5" de="" la="" tarde="" que="" es="" la="" hora="" de="" abrir="" el="" consultorio.="" si="" le="" damos="" el="" valor="" t="4" tenemos="" 5+4="9" de="" la="" tarde="" que="" es="" la="" hora="" de="" cerrar="" el="" consultorio.="" c)representa="" graficamente.="">Sea la función: f(x) = -x2 -2ax +3 si x ≤ 1 ; ax2 -6x +5 si x>1.
a) f(1)= -(1)2 -2a(1) +3 = -2a +2. Lim de x tiende a 1 por la izquierda de f(x) = lim de x tiende a 1 por la izquierda de -(x)2 -2a(x) +3= -(1)2 -2a(1) +3= -2a +2. Lim de x tiende a 1 por la derecha de f(x)= lim de x tiende a 1 por la derecha de ax2 -6x+5= a(1)2 -6(1) +5= a -1. Igualando las tres expresiones tenemos -2a + 2 = a – 1, de donde 3a = 3 y por tanto a = 1. B) Representación grafica: La función es creciente en ( -∞, -1) U (3, ∞) y decreciente en (-1 , 3). Tiene un máximo en (-1 , 4) y un mínimo en (3, -4).4>