Ejercicios Resueltos de Estadística y Probabilidad: Conceptos Clave

Ejercicios Resueltos de Estadística y Probabilidad

1. Contraste de Bondad de Ajuste y Frecuencia Esperada

Se está realizando un contraste de bondad de ajuste para conocer si los datos de una muestra de 100 elementos se ajustan a una distribución normal, con media 0,4 y desviación típica 2. Calcule la frecuencia esperada para la clase definida por el intervalo (0,4-1,4).

• a) 19,15.
• b) 38,38.
• c) 38,30.
• d) Ninguna es correcta.

2. Error de un Estimador Consistente

¿Cuál debería ser el error cometido por un estimador consistente al estimar el parámetro poblacional cuando el tamaño muestral es tan grande que prácticamente coincide con el poblacional?

• a) El error coincide con la varianza del estimador.
• b) El error es el 100%.
• c) El error debería ser 0 (nulo).
• d) Ninguna es correcta.

3. Esperanza y Varianza de la Media Muestral

En una bolsa hay 100 bolas, de igual tamaño, marcadas con los números 0, 1 y 2. De estas, 30 están marcadas con el 0, 50 con el 1 y 20 con el 2. Determine, para muestras de tamaño dos, la esperanza y la varianza de la media muestral. Se utiliza muestreo con reemplazamiento.

• a) Esperanza 1 y varianza 0,495.
• b) Esperanza 0,9 y varianza 0,495.
• c) Esperanza 0,9 y varianza 0,245.
• d) Ninguna es correcta.

4. Contraste de Distribución de Probabilidad

Queremos contrastar la distribución de probabilidad del número de tarjetas rojas que se muestran en cada jornada de liga, a partir de una muestra de la temporada pasada (38 jornadas). ¿Qué tipo de contraste es adecuado para este fin?

• A) Chi-cuadrado de Pearson.
• B) Kolmogorov-Smirnov.
• C) Kolmogorov-Smirnov con corrección de Lilliefors.
• D) Shapiro-Wilk.

5. Probabilidad en Distribución Normal

Las especificaciones técnicas de un componente eléctrico reflejan que tiene una duración media de 1.000 horas y sigue una distribución normal, con una varianza de 144 horas. Hemos comprado 9 piezas de este tipo. Calcule la probabilidad de que la duración media de estas sea inferior a 990 horas.

• A) La probabilidad de que ocurra es despreciable.
• B) 0,0062.
• C) 0,4168.
• D) 0,9938.

6. Probabilidad Exacta en Distribución Normal Continua

El consumo diario de litros de café en un bar sigue una distribución N(100, 25). La probabilidad de que en un día concreto se consuman exactamente 115,5 litros es igual a:

• A) 0,60.
• B) 0,40.
• C) 0,25.
• D) Ninguna es correcta.

7. Estimadores Insesgados

Dada una población N(µ, σ), con la media (µ) como parámetro poblacional desconocido. Para estimar su posible valor se extrae una muestra aleatoria simple de tamaño “n” y se propone el uso de dos estimadores φ₁=x₁ y φ₂=(x₁+x₂)/2.

• A) Ambos estimadores son insesgados.
• B) El primero es sesgado y el segundo insesgado.
• C) El segundo es sesgado y el primero insesgado.
• D) Ambos estimadores son sesgados.

8. Experimento Aleatorio y Secuencias

Ante la siguiente secuencia de lanzamientos de una moneda (c = cara; + = cruz): {c,c,+,+,+,+,+,c,c,c,+,+,c,c,c}, determine si los resultados son o no fruto de un experimento aleatorio.

• A) Es aleatorio, porque hay un número similar de caras y de cruces.
• B) Es aleatorio, porque el número de rachas está entre cinco y nueve.
• C) Ninguna es correcta.
• D) No es aleatorio.

9. Modificación de la Amplitud del Intervalo de Confianza

Se realiza un intervalo de confianza para la media de una población N(µ, σ=5), obteniéndose el intervalo (20,35 - 23,65) para un nivel de confianza del 90% y una muestra de tamaño 25. Si se quiere modificar la amplitud del intervalo, ¿cuál de estas opciones no es posible?

• A) Longitud del intervalo 2,56; tamaño de la muestra 25, nivel de confianza 80%.
• B) Longitud del intervalo 1,65; tamaño de la muestra 100, nivel de confianza 90%.
• C) Longitud del intervalo 1,28; tamaño de la muestra 100, nivel de confianza 80%.
• D) Longitud del intervalo 1,96; tamaño de la muestra 25, nivel de confianza 95%.

10. Intervalo de Confianza para la Media con Varianza Conocida

La varianza de una población normal es 4. Calcule el intervalo para la media con un nivel de confianza del 99%, sabiendo que se ha tomado una muestra de 100 elementos y la suma de los valores obtenidos ha dado 1435.

• A) (13,320 – 15,380).
• B) Ninguna es correcta.
• C) (13,885 – 14,815).
• D) (13,835 – 14,865).

11. Propiedades de una Variable Aleatoria Binomial

Para la variable aleatoria que representa el número de caras obtenidas al lanzar 4 veces una moneda justa, encontramos que:

• A) Su valor medio es 2 y su varianza es 0,5.
• B) Sigue un modelo de Poisson.
• C) Su media es cuatro.
• D) Su varianza es 1.

12. Interpretación de Intervalos de Confianza en Elecciones

Pablo y Javier se presentan a la alcaldía de Valdemanco. Antes de las elecciones se hace una encuesta que otorga una estimación puntual de voto para Pablo del 68% y un intervalo asociado de [0,45; 0,85] con un 99% de confianza. ¿Qué conclusión podemos sacar de este estudio?

• A) Gana Pablo.
• B) No se puede anticipar o informar que ganará uno u otro.
• C) Gana Javier.
• D) Solo se puede informar sobre el resultado aplicando un nivel de confianza del 100%.