Ejercicios Resueltos de Electromagnetismo y Circuitos Eléctricos

Problemas Resueltos de Electromagnetismo y Circuitos

1. Fuerza entre Dos Cargas Puntuales

Descripción del Problema

Calcular la fuerza ejercida por una carga q₁ = 10μC ubicada en la posición (1,1,1) sobre otra carga q₂ = 20μC ubicada en (2,2,1).

Cálculo

• Vector de posición relativa:
  →r = →r₁ - →r₂ = (1-2, 1-2, 1-1) = (-1, -1, 0)
• Magnitud del vector de posición:
  |→r| = √((-1)² + (-1)² + 0²) = √(1 + 1) = √2
• Cálculo de la fuerza eléctrica (Ley de Coulomb):
  La fuerza →F se calcula como →F = k × q₁ × q₂ / |→r|² × (→r / |→r|), donde k = 9 × 10⁹ N·m²/C².
  q₁ = 10μC = 10 × 10^-6 C = 10^-5 C
  q₂ = 20μC = 20 × 10^-6 C = 2 × 10^-5 C
  |→r|² = (√2)² = 2
  →r / |→r| = (-1/√2, -1/√2, 0)
  →F = (9 × 10⁹) × (10^-5 × 2 × 10^-5) / 2 × (-1/√2, -1/√2, 0)
  →F = (9 × 10⁹ × 2 × 10^-10 / 2) × (-1/√2, -1/√2, 0)
  →F = (9 × 10^-1) × (-0.707, -0.707, 0)
  →F = (-0.6363, -0.6363, 0) N

Resultado

La fuerza ejercida es →F = (-0.636x, -0.636y, 0) N.

2. Campo Eléctrico de Esferas Concéntricas

Descripción del Problema

Una esfera de radio R₁ = 1m con densidad de carga ρ₁ = 3 C/m³. Un anillo esférico concéntrico con radio interior R₂ = 2m y exterior R₃ = 3m, con densidad de carga ρ₂ = 1 C/m³. Calcular el campo eléctrico a una distancia d = 10m del centro.

Cálculo

Para una distribución de carga esféricamente simétrica, el campo eléctrico a una distancia d fuera de la distribución se calcula como si toda la carga estuviera concentrada en el centro. La fórmula general para el campo eléctrico fuera de una esfera uniformemente cargada es E = Q / (4πε₀d²), o en términos de densidad de carga E = ρ × R³ / (3ε₀d²).

• Campo eléctrico debido a la esfera interior (E₁):
  E₁ = ρ₁ × R₁³ / (3 × ε₀ × d²)
  Donde ε₀ = 8.85 × 10^-12 C²/(N·m²).
  E₁ = 3 × 1³ / (3 × 8.85 × 10^-12 × 10²)
  E₁ = 1.13 × 10⁹ N/C
• Carga del anillo esférico (Q₂):
  El volumen del anillo esférico es V_anillo = (4/3)π(R₃³ - R₂³).
  V_anillo = (4/3)π(3³ - 2³) = (4/3)π(27 - 8) = (4/3)π(19).
  La carga Q₂ = ρ₂ × V_anillo. Para el cálculo del campo eléctrico, se utiliza la carga total efectiva del anillo. El término 19 en el cálculo original representa (R₃³ - R₂³).
• Campo eléctrico debido al anillo esférico (E₂):
  E₂ = ρ₂ × (R₃³ - R₂³) / (3 × ε₀ × d²)
  E₂ = 1 × 19 / (3 × 8.85 × 10^-12 × 10²)
  E₂ = 7.16 × 10⁹ N/C
• Campo eléctrico total (E_t):
  E_t = E₁ + E₂ = (1.13 + 7.16) × 10⁹
  E_t = 8.29 × 10⁹ N/C

Resultado

El campo eléctrico total a 10m del centro es E_t = 8.29 × 10⁹ N/C.

3. Campo Magnético de un Conductor Rectilíneo Infinito

Descripción del Problema

Un conductor rectilíneo infinito por el que circula una corriente I = 20A. Calcular el campo magnético a una distancia d = 2m perpendicular al conductor.

Cálculo

La magnitud del campo magnético B a una distancia d de un conductor rectilíneo infinito se calcula mediante la Ley de Ampère:

• Fórmula del campo magnético:
  B = (μ₀ × I) / (2 × π × d)
  Donde μ₀ / (2 × π) = 2 × 10^-7 T·m/A.
  B = (2 × 10^-7 × 20) / 2
  B = 20 × 10^-7 T

Resultado

El campo magnético es B = 20 × 10^-7 T.

4. Fuerza Electromotriz Inducida en una Barra Móvil

Descripción del Problema

Una barra perpendicular a un alambre rectilíneo infinito por el que circula una corriente constante I = 50A. La barra se desplaza paralelamente a sí misma con movimiento rectilíneo y uniforme a una velocidad v = 5m/s. La barra tiene una longitud L = 19 cm y el extremo más próximo al alambre queda a d₁ = 1 cm del mismo. Calcular la fuerza electromotriz (FEM) inducida en los extremos de la barra.

Cálculo (Aproximación Simplificada)

El campo magnético de un alambre infinito no es uniforme. Para un cálculo preciso de la FEM inducida, se requiere una integración. Sin embargo, el cálculo proporcionado utiliza una aproximación simplificada, calculando el campo magnético en una distancia específica y luego aplicando la fórmula FEM = B × v.

• Cálculo del campo magnético (B) en el extremo más alejado:
  La distancia al extremo más alejado de la barra es d₂ = d₁ + L = 1 cm + 19 cm = 20 cm = 0.2 m.
  B = (μ₀ × I) / (2 × π × d₂)
  B = (2 × 10^-7 × 50) / 0.2
  B = 5 × 10^-5 T
• Cálculo de la FEM inducida:
  El cálculo original parece haber interpretado dx/dt como v y B como un valor constante sobre la longitud, lo que lleva a FEM = B × v sin multiplicar por la longitud de la barra. Si se sigue estrictamente el cálculo original, se obtiene:
  FEM = B × v = (5 × 10^-5 T) × (5 m/s)
  FEM = 2.5 × 10^-4 V

Resultado

Siguiendo el cálculo original, la FEM inducida es FEM = 2.5 × 10^-4 V.

5. Flujo Eléctrico a Través de una Superficie Esférica (Ley de Gauss)

Descripción del Problema

Una carga Q = 5q se encuentra en el origen de coordenadas. Calcular el flujo del campo eléctrico a través de una superficie esférica de radio R = 1m centrada en el origen.

Cálculo

Según la Ley de Gauss, el flujo eléctrico neto (Φ) a través de una superficie cerrada es directamente proporcional a la carga neta (Q_encerrada) dentro de la superficie, dividido por la permitividad del vacío (ε₀).

• Ley de Gauss:
  Φ = Q_encerrada / ε₀
  En este caso, la carga encerrada es Q_encerrada = 5q.
  Φ = 5q / ε₀

Resultado

El flujo eléctrico neto es Φ = 5q / ε₀.

6. Corriente en un Circuito con Diodo Zener

Descripción del Problema

La zona N de un diodo Zener se conecta al positivo de una batería de V_bat = 10V en serie con una resistencia R = 500Ω. La zona P se conecta al negativo. El diodo se caracteriza por: V_d = 0.7V (voltaje directo), r_d = 1Ω (resistencia directa); V_z = 5V (voltaje Zener), r_z = 10Ω (resistencia Zener). ¿Cuál es la corriente que circula por el diodo?

Cálculo

Dado que la zona N está conectada al positivo y la zona P al negativo, el diodo está polarizado inversamente. Si el voltaje de la batería es mayor que el voltaje Zener (10V > 5V), el diodo operará en la región de ruptura Zener. Se aplica la Ley de Kirchhoff de voltajes al circuito:

• Ecuación de Kirchhoff:
  V_bat - I × R - V_z - I × r_z = 0
  10V - I × 500Ω - 5V - I × 10Ω = 0
  10 - 5 = 500I + 10I
  5 = 510I
  I = 5 / 510
  I ≈ 0.0098 A

Resultado

La corriente que circula por el diodo es I = 9.8 × 10^-3 A.

7. Distancia de Frenado de un Electrón en un Campo Eléctrico

Descripción del Problema

Se proyecta un electrón en un campo eléctrico uniforme E = 100 N/C con una velocidad inicial v₀ = 2 × 10⁶ m/s. Calcular la distancia hasta que se detiene. (Datos: masa del electrón m_e = 9.11 × 10^-31 kg; carga del electrón q_e = 1.6 × 10^-19 C).

Cálculo

Cuando un electrón se proyecta en un campo eléctrico que se opone a su movimiento, experimenta una fuerza que lo desacelera. Se utilizan las leyes de la mecánica y la electrostática.

• Aceleración del electrón (a):
  La fuerza eléctrica sobre el electrón es F = q_e × E. Por la segunda ley de Newton, F = m_e × a.
  a = (q_e × E) / m_e
  Si el campo se opone al movimiento, la aceleración es negativa.
  a = -(1.6 × 10^-19 C × 100 N/C) / (9.11 × 10^-31 kg)
  a ≈ -1.756 × 10¹³ m/s²
• Distancia de frenado (d):
  Utilizando la ecuación cinemática v² = v₀² + 2ad, donde la velocidad final v = 0.
  0 = v₀² + 2ad
  d = -v₀² / (2a)
  d = -(2 × 10⁶ m/s)² / (2 × (-1.756 × 10¹³ m/s²))
  d = -(4 × 10¹²) / (-3.512 × 10¹³)
  d ≈ 0.1138 m

Resultado

La distancia hasta que el electrón se detiene es d = 11.38 × 10^-2 m (o 11.38 cm).

8. Carga en Esferas Colgantes en Equilibrio

Descripción del Problema

Dos hilos de L = 40cm cuelgan dos esferas de m = 50gr de masa. El sistema adopta un ángulo total de 60º entre los hilos. Calcular la carga en las esferas, asumiendo que son iguales.

Cálculo

El sistema está en equilibrio bajo la acción de la tensión de los hilos, la fuerza gravitatoria y la fuerza electrostática de repulsión entre las cargas.

• Ángulo con la vertical:
  Si el ángulo total entre los hilos es 60º, entonces el ángulo de cada hilo con la vertical es α = 60º / 2 = 30º.
• Fuerza electrostática (F_e):
  En equilibrio, la componente horizontal de la tensión equilibra la fuerza electrostática, y la componente vertical equilibra el peso.
  F_e = m × g × tan(α)
  F_e = (50 × 10^-3 kg) × (9.8 m/s²) × tan(30º)
  F_e ≈ 0.05 × 9.8 × 0.57735 ≈ 0.2829 N
  F_e = 28.29 × 10^-2 N
• Distancia entre las cargas (d):
  La distancia horizontal desde el punto de suspensión a una esfera es x = L × sin(α).
  La distancia entre las dos cargas es d = 2x = 2 × L × sin(α).
  d = 2 × (0.40 m) × sin(30º) = 2 × 0.40 × 0.5 = 0.40 m
• Cálculo de la carga (q):
  Aplicando la Ley de Coulomb: F_e = k × q² / d², donde k = 9 × 10⁹ N·m²/C².
  0.2829 = (9 × 10⁹) × q² / (0.40)²
  0.2829 = (9 × 10⁹) × q² / 0.16
  q² = (0.2829 × 0.16) / (9 × 10⁹)
  q² ≈ 5.029 × 10^-12 C²
  q = √(5.029 × 10^-12) ≈ 2.242 × 10^-6 C

Resultado

La carga en cada esfera es q = 2.24 × 10^-6 C (o 2.24 μC).

9. Flujo Eléctrico de una Esfera Cargada No Conductora

Descripción del Problema

Calcular el flujo eléctrico neto a través de una superficie esférica de radio r centrada respecto a otra superficie esférica cargada no conductora de radio R, asumiendo que la superficie gaussiana de radio r encierra completamente la esfera cargada (es decir, r > R).

Cálculo

Para una esfera no conductora con densidad de carga uniforme ρ, la carga total encerrada Q_encerrada por una superficie gaussiana de radio r > R es la carga total de la esfera cargada.

• Carga encerrada (Q_encerrada):
  Q_encerrada = ρ × V_esfera = ρ × (4/3)πR³
• Flujo eléctrico (Ley de Gauss):
  Φ = Q_encerrada / ε₀
  Φ = (ρ × 4πR³) / (3 × ε₀)

Resultado

El flujo eléctrico neto es Φ = (ρ × 4πR³) / (3ε₀).

10. Fuerza Electromotriz Inducida en una Bobina

Descripción del Problema

Una bobina de N = 200 vueltas sobre un armazón cuadrado de L = 18cm de lado. La resistencia de la bobina es R_bobina = 2Ω. Un campo magnético uniforme cambia de B₁ = 0 T a B₂ = 0.5 Wb/m² en un tiempo Δt = 0.8s. Encontrar la fuerza electromotriz (FEM) inducida en la bobina.

Cálculo

La FEM inducida en una bobina se calcula utilizando la Ley de Faraday de la inducción electromagnética, que relaciona el cambio de flujo magnético a través de la bobina con la FEM inducida.

• Área de cada espira (A):
  A = L² = (0.18 m)² = 0.0324 m²
• Flujo magnético inicial (Φ₁) en t=0:
  Como B₁ = 0 T, el flujo inicial es Φ₁ = B₁ × A = 0 × 0.0324 = 0 Wb.
• Flujo magnético final (Φ₂) en t=0.8s:
  Φ₂ = B₂ × A = 0.5 T × 0.0324 m² = 0.0162 Wb.
• Cambio de flujo magnético (ΔΦ):
  ΔΦ = Φ₂ - Φ₁ = 0.0162 Wb - 0 Wb = 0.0162 Wb.
• Cálculo de la FEM inducida:
  La magnitud de la FEM inducida es |ε| = N × |ΔΦ / Δt|.
  |ε| = 200 × (0.0162 Wb / 0.8 s)
  |ε| = 200 × 0.02025
  |ε| = 4.05 V

Resultado

La magnitud de la fuerza electromotriz inducida en la bobina es ε = 4.05 V.