Ejercicios Resueltos de Cinemática: Movimiento Rectilíneo Uniforme y Acelerado

Este documento presenta una colección de problemas de cinemática resueltos paso a paso, cubriendo conceptos fundamentales como el movimiento rectilíneo uniforme (MRU), el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) y el movimiento descrito por funciones de posición. Cada ejercicio incluye el planteamiento, los datos, las fórmulas utilizadas y la solución detallada.

Problema 1: Persecución de un Automóvil

Planteamiento del Problema

Un automóvil se desplaza a una velocidad constante de 20 m/s. Pasa frente a un agente de tránsito que comienza a seguirlo en su motocicleta, ya que en ese lugar la velocidad máxima permitida es de 18 m/s. El agente de tránsito inicia su persecución 4 s después de que el automóvil pasa, partiendo del reposo y manteniendo una aceleración constante. El agente alcanza al vehículo a 3600 m del punto de partida.

Preguntas y Soluciones

1. ¿Durante cuánto tiempo se movió el vehículo desde el instante en que pasó frente al agente de tránsito hasta que fue alcanzado?
El automóvil avanzó 3600 m a una velocidad constante de 20 m/s. El tiempo que le tomó es:
t = Distancia / Velocidad
t = 3600 m / 20 m/s = 180 s

2. ¿Cuánto tiempo gastó el agente de tránsito en su persecución?
El agente inició la persecución 4 s después de que el automóvil pasó. Por lo tanto, el tiempo de persecución del agente es:
t_agente = t_automóvil - Retraso
t_agente = 180 s - 4 s = 176 s

3. ¿Cuál fue la aceleración del agente en la motocicleta?
El agente partió del reposo (v₀ = 0) y recorrió 3600 m en 176 s con aceleración constante. Usando la ecuación de posición para MRUA (x = v₀t + ½at²), y despejando 'a':
x = ½at² (ya que v₀ = 0)
a = 2x / t²
a = (2 ⋅ 3600 m) / (176 s)² = 7200 m / 30976 s² ≈ 0,232 m/s²

4. ¿Cuál fue la velocidad final del agente de tránsito en la motocicleta?
Usando la ecuación de velocidad final para MRUA (v_f = v₀ + at):
v_f = a ⋅ t (ya que v₀ = 0)
v_f = 0,232 m/s² ⋅ 176 s ≈ 40,832 m/s (redondeado a 40,8 m/s como en el original)

Problema 2: Tiempo para Alcanzar una Velocidad

Planteamiento del Problema

¿Cuánto tiempo tardará un móvil en alcanzar una velocidad de 60 km/h, si parte del reposo acelerando constantemente con una aceleración de 20 km/h²?

Solución

Datos:
v_f = 60 km/h
v₀ = 0 km/h (parte del reposo)
a = 20 km/h²

Fórmula:
v_f = v₀ + at

Despejando 't':
t = (v_f - v₀) / a
t = (60 km/h - 0 km/h) / 20 km/h²
t = (60 km/h) / 20 km/h²
t = 3 h

Problema 3: Movimiento de una Partícula (Cálculo Diferencial)

Planteamiento del Problema

El movimiento de una partícula está definido por la relación x(t) = 2t³ - 15t² + 24t + 4, con 'x' expresada en metros y 't' en segundos. Determínese:

1. El tiempo 't' para que la velocidad sea cero.
2. La posición y la distancia recorrida cuando la aceleración es cero.

Solución

Para resolver este problema, utilizaremos las derivadas de la función de posición para obtener las ecuaciones de velocidad y aceleración.

A) Tiempo para que la velocidad sea cero

La ecuación de velocidad (v(t)) se obtiene derivando la ecuación de posición x(t) respecto al tiempo:

x(t) = 2t³ - 15t² + 24t + 4
v(t) = dx/dt = 6t² - 30t + 24

Para determinar el tiempo 't' en que la velocidad es cero, igualamos v(t) a cero:

6t² - 30t + 24 = 0
Dividimos por 6 para simplificar:
t² - 5t + 4 = 0

Usando la fórmula cuadrática o factorizando (t-1)(t-4)=0, se obtienen las soluciones:
t = 1 s y t = 4 s

B) Posición y distancia recorrida cuando la aceleración es cero

Primero, obtenemos la ecuación de aceleración (a(t)) derivando la ecuación de velocidad v(t) respecto al tiempo:

v(t) = 6t² - 30t + 24
a(t) = dv/dt = 12t - 30

Igualamos a(t) a cero para encontrar el instante en que la aceleración es cero:

12t - 30 = 0
12t = 30
t = 30 / 12 = 5/2 s = 2,5 s

Ahora, sustituimos este valor de 't' (2,5 s) en la ecuación de posición original para obtener la posición en ese instante:

x(2,5) = 2(2,5)³ - 15(2,5)² + 24(2,5) + 4
x(2,5) = 2(15,625) - 15(6,25) + 60 + 4
x(2,5) = 31,25 - 93,75 + 60 + 4
x(2,5) = 1,5 m

Para calcular la distancia total recorrida, necesitamos considerar los puntos donde la velocidad es cero (t=1s y t=4s), ya que la partícula podría cambiar de dirección. La distancia recorrida es la suma de los valores absolutos de los desplazamientos entre estos puntos y el punto final de interés (t=2.5s).

• Posición inicial (t=0): x(0) = 2(0)³ - 15(0)² + 24(0) + 4 = 4 m
• Posición en t=1s: x(1) = 2(1)³ - 15(1)² + 24(1) + 4 = 2 - 15 + 24 + 4 = 15 m
• Posición en t=2.5s (aceleración cero): x(2.5) = 1.5 m
• Posición en t=4s: x(4) = 2(4)³ - 15(4)² + 24(4) + 4 = 128 - 240 + 96 + 4 = -12 m

Desplazamiento de t=0 a t=1s: |x(1) - x(0)| = |15 - 4| = 11 m
Desplazamiento de t=1s a t=2.5s: |x(2.5) - x(1)| = |1.5 - 15| = |-13.5| = 13.5 m
Distancia total recorrida hasta t=2.5s: 11 m + 13.5 m = 24.5 m

Problema 4: Automóvil que Parte del Reposo

Planteamiento del Problema

Un automóvil parte del reposo con una aceleración constante de 3 m/s². Determinar:

1. ¿Qué velocidad tendrá a los 8 s de haber iniciado el movimiento?
2. ¿Qué distancia habrá recorrido en ese lapso?

Solución

Datos

• Aceleración (a) = 3 m/s²
• Tiempo (t) = 8 s
• Velocidad inicial (v₀) = 0 m/s (parte del reposo)

Fórmulas

1. v_f = v₀ + a ⋅ t
2. x = v₀ ⋅ t + ½ a ⋅ t²

Cálculos

a) Velocidad final (v_f):
Usando la ecuación (1):
v_f = (0 m/s) + (3 m/s²) ⋅ (8 s)
v_f = 24 m/s

b) Distancia recorrida (x):
Usando la ecuación (2):
x = (0 m/s) ⋅ (8 s) + ½ ⋅ (3 m/s²) ⋅ (8 s)²
x = 0 + ½ ⋅ (3 m/s²) ⋅ (64 s²)
x = ½ ⋅ 192 m
x = 96 m

Problema 5: Frenado de un Automóvil

Planteamiento del Problema

Un automóvil se desplaza a una velocidad de 90 km/h. El conductor aplica los frenos en el instante en que ve un pozo y reduce la velocidad hasta 1/5 de la inicial en los 4 s que tarda en llegar al pozo. Determinar a qué distancia del obstáculo el conductor aplicó los frenos, suponiendo que la aceleración fue constante.

Solución

Datos

• Velocidad inicial (v₀) = 90 km/h
• Velocidad final (v_f) = 1/5 de v₀
• Tiempo (t) = 4 s

Conversión de Unidades

Convertimos las velocidades a metros por segundo (m/s) para consistencia con el tiempo en segundos:

v₀ = 90 km/h ⋅ (1000 m / 1 km) ⋅ (1 h / 3600 s) = 25 m/s
v_f = (1/5) ⋅ v₀ = 0,2 ⋅ 25 m/s = 5 m/s

Fórmulas

1. v_f = v₀ + a ⋅ t
2. x = v₀ ⋅ t + ½ a ⋅ t²

Cálculos

a) Cálculo de la aceleración (a):
Usando la ecuación (1):
v_f = v₀ + a ⋅ t
a = (v_f - v₀) / t
a = (5 m/s - 25 m/s) / (4 s)
a = (-20 m/s) / (4 s)
a = -5 m/s² (La aceleración es negativa, indicando desaceleración o frenado).

b) Cálculo de la distancia (x):
Usando la ecuación (2) con la aceleración calculada:
x = v₀ ⋅ t + ½ a ⋅ t²
x = (25 m/s) ⋅ (4 s) + ½ ⋅ (-5 m/s²) ⋅ (4 s)²
x = 100 m + ½ ⋅ (-5 m/s²) ⋅ (16 s²)
x = 100 m + (-5 m/s²) ⋅ (8 s²)
x = 100 m - 40 m
x = 60 m